Řešení rovnic

Řešte lineární, kvadratické rovnice a jejich soustavy

Bezplatný online nástroj pro řešení rovnic s řešením krok za krokem. Řešte lineární rovnice (ax+b=0), kvadratické rovnice (ax²+bx+c=0) a soustavy 2×2 lineárních rovnic. Není nutná žádná registrace.

Jak používat

Jednoduchý 3-krokový proces pro řešení rovnic:

Krok 1: Vyberte typ rovnice
Pomocí karet vyberte lineární rovnici, kvadratickou rovnici nebo soustavu rovnic
Krok 2: Zadejte koeficienty
Zadejte koeficienty (a, b, c) pro vaši rovnici. Pro snazší začátek jsou předvyplněny ukázkové hodnoty
Krok 3: Získejte řešení
Klikněte na tlačítko "Vyřešit" pro zobrazení řešení s vysvětlením krok za krokem

Všechny výpočty se provádějí ve vašem prohlížeči. Na naše servery se neodesílají žádná data.

Nástroj pro řešení rovnic

Řešení lineární rovnice

ax + b = 0

a (koeficient)

b (absolutní člen)

Řešení kvadratické rovnice

ax² + bx + c = 0

a (koeficient x²)

b (koeficient x)

c (absolutní člen)

Soustava lineárních rovnic (2×2)

a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

Rovnice 1: x + y =

Rovnice 2: x + y =

Praktické případy užití

Nástroje pro řešení rovnic jsou nezbytné v mnoha oborech:

1. Fyzikální problémy

Řešení pohybových rovnic: s = ut + ½at² (kvadratická pro čas). Nalezení rychlosti: v = u + at (lineární). Výpočet trajektorií projektilů, zrychlení a silových vztahů. Nezbytné pro problémy mechaniky, kinematiky a dynamiky.

2. Inženýrství a design

Analýza obvodů: V = IR (lineární). Stavební výpočty: vztahy napětí-deformace. Optimalizační problémy: minimalizace nákladů při splnění omezení. Soustavy rovnic pro rozložení zátěže, tepelné výpočty a vlastnosti materiálů.

3. Ekonomie a obchod

Analýza bodu zvratu: Příjmy = Náklady (lineární). Maximalizace zisku: kvadratické funkce příjmů. Rovnováha nabídky a poptávky: řešení soustavy rovnic. Návratnost investic, optimalizace výroby a cenové strategie.

4. Informatika a programování

Složitost algoritmů: řešení pro n v rovnicích T(n). Grafika: sledování paprsku (kvadratická pro body průsečíku). Herní fyzika: detekce kolizí, výpočty trajektorií. Síťové toky: řešení soustav pro optimální směrování.

5. Výuka matematiky

Učení technik řešení rovnic: rozklad, kvadratický vzorec, substituce, eliminace. Pochopení diskriminantů, kořenů a množin řešení. Procvičování základů algebry pro kalkulus, lineární algebru a diferenciální rovnice.

Co je řešení rovnic?

Rovnice je matematický výrok se znaménkem rovnosti. Řešení rovnice znamená nalezení hodnoty (hodnot) proměnné (proměnných), které činí rovnici pravdivou.

Typy rovnic

Lineární rovnice (ax+b=0): První stupeň, jedno řešení. Příklad: 2x+6=0 → x=-3. Kvadratická rovnice (ax²+bx+c=0): Druhý stupeň, 0, 1 nebo 2 reálná řešení. Příklad: x²-5x+6=0 → x=2 nebo x=3. Soustava rovnic: Více rovnic s více neznámými. Příklad: 2x+3y=8, 3x-y=5 → x=1, y=2.

Metody řešení

Lineární: Izolujte x přesunutím konstanty na pravou stranu. Kvadratická: Použijte kvadratický vzorec x=(-b±√(b²-4ac))/(2a), rozklad nebo doplnění na čtverec. Diskriminant (b²-4ac) určuje povahu kořenů: >0 (dva reálné), =0 (jeden reálný), <0 (komplexní). Soustava: Substituce, eliminace nebo Cramerovo pravidlo (determinanty).

Porozumění řešením

Reálná řešení jsou čísla na číselné ose. Komplexní řešení zahrnují imaginární jednotku i (√-1). Žádné řešení znamená spor (např. 0=5). Nekonečně mnoho řešení znamená identitu (např. 0=0). U soustav nemají rovnoběžné přímky žádné řešení, totožné přímky mají nekonečně mnoho řešení, protínající se přímky mají jedno unikátní řešení.

Často kladené otázky

Jak vyřeším lineární rovnici?

Pro ax+b=0 přesuňte konstantu doprava: ax=-b, poté vydělte: x=-b/a. Příklad: 2x+6=0 → 2x=-6 → x=-3. Pokud a=0 a b=0, nekonečně mnoho řešení. Pokud a=0 a b≠0, žádné řešení.

Co je kvadratický vzorec?

Pro ax²+bx+c=0 je kvadratický vzorec x=(-b±√(b²-4ac))/(2a). Znaménko ± znamená dvě řešení. Výraz b²-4ac je diskriminant, který určuje, zda jsou řešení reálná nebo komplexní.

Co nám říká diskriminant?

Diskriminant Δ=b²-4ac určuje typy řešení. Δ>0: Dvě různá reálná řešení. Δ=0: Jedno opakované reálné řešení (dvojnásobný kořen). Δ<0: Dvě komplexně sdružená řešení (žádná reálná řešení).

Jak vyřeším soustavu rovnic?

Pro soustavy 2×2 použijte Cramerovo pravidlo s determinanty. Vypočítejte hlavní determinant: Δ=a₁b₂-a₂b₁. Pokud Δ≠0, existuje unikátní řešení: x=(c₁b₂-c₂b₁)/Δ, y=(a₁c₂-a₂c₁)/Δ. Pokud Δ=0, neexistuje žádné unikátní řešení (rovnoběžné nebo totožné přímky).

Co jsou komplexní řešení?

Komplexní řešení se objevují, když je diskriminant záporný. Zahrnují imaginární jednotku i, kde i²=-1. Formát: a±bi, kde a je reálná část, b je imaginární část. Příklad: x²+4=0 → x=±2i.

Může mít kvadratická rovnice pouze jedno řešení?

Ano, když je diskriminant roven nule (b²-4ac=0). Jedná se o dvojnásobný kořen, kdy jsou obě řešení stejná. Příklad: x²-6x+9=0 má diskriminant 36-36=0, což dává x=3 (opakovaný). Parabola se dotýká osy x přesně v jednom bodě.

Co když je koeficient a v lineární rovnici nula?

Pokud a=0 v rovnici ax+b=0, rovnice se stane 0x+b=0 nebo jen b=0. Pokud b=0, vyhovuje jakékoli x (nekonečně mnoho řešení). Pokud b≠0, nevyhovuje žádné x (žádné řešení). Toto je degenerovaný případ, který ve skutečnosti není lineární rovnicí v x.

Jak přesný je tento nástroj pro řešení rovnic?

Tento nástroj používá aritmetiku s dvojitou přesností JavaScriptu (asi 15-17 platných číslic). Výsledky jsou formátovány na 10 desetinných míst. Pro většinu vzdělávacích a praktických účelů je tato přesnost více než dostatečná. Velmi velké koeficienty mohou ztratit určitou přesnost.