Výpočet plochy trojúhelníku z délek stran
Používání kalkulačky Heronova vzorce je velmi jednoduché:
Zadejte hodnoty. Výsledky se zobrazí v reálném čase.
Heronův vzorec byl poprvé dokázán Héronem Alexandrijským (cca 10-70 n. l.) v jeho matematickém pojednání 'Metrica'. Později však bylo zjištěno, že tento vzorec byl znám již Archimedovi o několik století dříve. Tento vzorec je pozoruhodný tím, že dokáže vypočítat plochu trojúhelníku pouze z délek jeho stran, aniž by bylo potřeba znát úhly nebo výšky.
Heronův vzorec se skládá ze dvou hlavních kroků:
Kde a, b a c jsou délky tří stran trojúhelníku.
Pro použití Heronova vzorce musí být splněny následující podmínky:
Heronův vzorec se používá v různých reálných aplikacích:
V zeměměřictví a realitách, při měření trojúhelníkových pozemků, umožňuje Heronův vzorec výpočet plochy pouze z měření vzdáleností, bez potřeby měření úhlů.
V systémech GPS a navigačních výpočtech, při určování pozic ze vzdáleností k více bodům, se Heronův vzorec používá k výpočtu ploch a ověření přesnosti polohy.
V stavebním inženýrství a architektonickém designu, při výpočtu ploch trojúhelníkových konstrukčních prvků a panelů, poskytuje Heronův vzorec rychlé výpočty plochy.
V 3D modelování a vývoji her jsou trojúhelníkové polygony základními prvky a Heronův vzorec se používá k výpočtu ploch povrchů a pro výpočty osvětlení.
Ve výuce geometrie se Heronův vzorec vyučuje jako důležitá věta, která poskytuje náhled do vztahu mezi stranami trojúhelníku a plochou.
Délky stran: a = 5, b = 5, c = 5
Poloobvod: s = (5 + 5 + 5) / 2 = 7.5
Plocha: S = √[7.5 × 2.5 × 2.5 × 2.5] = √117.1875 ≈ 10.825
Délky stran: a = 3, b = 4, c = 5
Poloobvod: s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
Plocha: S = √[6 × 3 × 2 × 1] = √36 = 6
U pravoúhlého trojúhelníku to odpovídá vzorci (základna × výška) / 2 = (3 × 4) / 2 = 6
Délky stran: a = 7, b = 8, c = 9
Poloobvod: s = (7 + 8 + 9) / 2 = 12
Plocha: S = √[12 × 5 × 4 × 3] = √720 ≈ 26.833
Na rozdíl od standardního vzorce (základna × výška / 2) vypočítává Heronův vzorec plochu pouze z délek stran, což je užitečné, když je obtížné změřit výšku.
Ať už rovnostranný, rovnoramenný, různostranný, ostroúhlý, pravoúhlý nebo tupoúhlý, Heronův vzorec funguje pro všechny typy trojúhelníků s jediným vzorcem.
Pomocí moderních kalkulaček nebo počítačů může Heronův vzorec vypočítat plochy s velmi vysokou přesností.
Heronův vzorec je jednoduchý na implementaci v programování, vyžaduje pouze základní aritmetické operace (sčítání, odčítání, násobení a odmocninu).
U trojúhelníků s velmi malými plochami (téměř degenerovaných trojúhelníků) může aritmetika s plovoucí desetinnou čárkou vést k významným zaokrouhlovacím chybám. V takových případech mohou být stabilnější alternativní vzorce jako Kahanův vzorec.
Před výpočtem musíte ověřit, že tři strany mohou tvořit platný trojúhelník (trojúhelníková nerovnost: součet libovolných dvou stran musí překročit třetí).
Všechny délky stran musí být kladná čísla. Nulové nebo záporné hodnoty povedou k neplatným výpočtům.
Heronův vzorec je matematický vzorec pro výpočet plochy trojúhelníku z délek jeho tří stran. Byl dokázán Héronem Alexandrijským ve starověku.
Je zvláště užitečný, když znáte všechny tři délky stran, ale ne výšku nebo úhly trojúhelníku, například v zeměměřictví nebo při měření trojúhelníkových objektů.
Ano, funguje pro všechny typy trojúhelníků (rovnostranné, rovnoramenné, různostranné, ostroúhlé, pravoúhlé a tupoúhlé), pokud tři strany mohou tvořit platný trojúhelník.
Můžete použít jakékoliv jednotky (metry, centimetry, stopy atd.), ale všechny tři strany musí používat stejnou jednotku. Výsledná plocha bude v čtverečních jednotkách vstupní jednotky.
Běžné důvody zahrnují: zadávání záporných nebo nulových hodnot, nebo zadávání délek stran, které porušují trojúhelníkovou nerovnost (kde součet dvou stran není větší než třetí).
U velmi plochých trojúhelníků (téměř degenerovaných) se mohou hromadit zaokrouhlovací chyby s plovoucí desetinnou čárkou. Pro takové případy se doporučují numericky stabilní alternativy jako Kahanův vzorec.
Samotný Heronův vzorec je pouze pro rovinné trojúhelníky. Pro trojrozměrné trojúhelníky v prostoru byste nejprve museli určit, zda jsou tři body koplanární, a vypočítat délky stran.
U pravoúhlých trojúhelníků dává Heronův vzorec stejný výsledek jako (základna × výška) / 2. U trojúhelníků, kde znáte délky stran a úhly, můžete také použít (1/2)ab sin C, ale Heronův vzorec nevyžaduje informace o úhlech.