Rješavač jednadžbi

Riješite linearne, kvadratne i sustave jednadžbi

Besplatni online rješavač jednadžbi s rješenjima korak po korak. Riješite linearne jednadžbe (ax+b=0), kvadratne jednadžbe (ax²+bx+c=0) i 2×2 sustave linearnih jednadžbi. Nije potrebna registracija.

Kako koristiti

Jednostavan proces u 3 koraka za rješavanje jednadžbi:

Korak 1: Odaberite vrstu jednadžbe
Pomoću kartica odaberite linearnu jednadžbu, kvadratnu jednadžbu ili sustav jednadžbi
Korak 2: Unesite koeficijente
Unesite koeficijente (a, b, c) za svoju jednadžbu. Primjeri vrijednosti su unaprijed popunjeni kako bi vam pomogli započeti
Korak 3: Dobijte rješenje
Kliknite gumb "Riješi" da biste vidjeli rješenje s objašnjenjem korak po korak

Svi izračuni izvode se u vašem pregledniku. Naše poslužitelje ne šalju se podaci.

Alat za rješavanje jednadžbi

Rješavač linearne jednadžbe

ax + b = 0

a (koeficijent)

b (slobodni član)

Rješavač kvadratne jednadžbe

ax² + bx + c = 0

a (koeficijent od x²)

b (koeficijent od x)

c (slobodni član)

Sustav linearnih jednadžbi (2×2)

a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

Jednadžba 1: x + y =

Jednadžba 2: x + y =

Praktični primjeri upotrebe

Rješavači jednadžbi su ključni alati u mnogim disciplinama:

1. Problemi iz fizike

Rješavanje jednadžbi gibanja: s = ut + ½at² (kvadratna za vrijeme). Pronalaženje brzine: v = u + at (linearna). Izračun putanja projektila, ubrzanja i odnosa sila. Bitan za probleme mehanike, kinematike i dinamike.

2. Inženjerstvo i dizajn

Analiza strujnih krugova: V = IR (linearna). Strukturni proračuni: odnosi naprezanje-deformacija. Problemi optimizacije: minimiziranje troškova uz poštivanje ograničenja. Sustavi jednadžbi za raspodjelu opterećenja, toplinske izračune i svojstva materijala.

3. Ekonomija i poslovanje

Analiza točke pokrića: Prihod = Trošak (linearna). Maksimizacija profita: kvadratne funkcije prihoda. Ravnoteža ponude i potražnje: rješavanje sustava jednadžbi. Povrat ulaganja, optimizacija proizvodnje i strategije određivanja cijena.

4. Računarstvo i programiranje

Složenost algoritama: rješavanje za n u T(n) jednadžbama. Grafika: praćenje zraka (ray tracing) (kvadratna za točke presjeka). Fizika u igrama: detekcija sudara, izračuni putanja. Mrežni protok: rješavanje sustava za optimalno usmjeravanje.

5. Obrazovanje iz matematike

Učenje tehnika rješavanja jednadžbi: faktorizacija, kvadratna formula, supstitucija, eliminacija. Razumijevanje diskriminanti, korijena i skupova rješenja. Vježbanje osnova algebre za matematičku analizu, linearnu algebru i diferencijalne jednadžbe.

Što je rješavanje jednadžbi?

Jednadžba je matematička izjava sa znakom jednakosti. Rješavanje jednadžbe znači pronalaženje vrijednosti varijable(i) koje čine jednadžbu istinitom.

Vrste jednadžbi

Linearna jednadžba (ax+b=0): Prvi stupanj, jedno rješenje. Primjer: 2x+6=0 → x=-3. Kvadratna jednadžba (ax²+bx+c=0): Drugi stupanj, 0, 1 ili 2 realna rješenja. Primjer: x²-5x+6=0 → x=2 ili x=3. Sustav jednadžbi: Više jednadžbi s više nepoznanica. Primjer: 2x+3y=8, 3x-y=5 → x=1, y=2.

Metode rješavanja

Linearna: Izolirajte x premještanjem konstante na desnu stranu. Kvadratna: Koristite kvadratnu formulu x=(-b±√(b²-4ac))/(2a), faktorizaciju ili dopunjavanje do potpunog kvadrata. Diskriminanta (b²-4ac) određuje prirodu korijena: >0 (dva realna), =0 (jedan realni), <0 (kompleksni). Sustav: Supstitucija, eliminacija ili Cramerovo pravilo (determinante).

Razumijevanje rješenja

Realna rješenja su brojevi na brojevnom pravcu. Kompleksna rješenja uključuju imaginarnu jedinicu i (√-1). Nema rješenja znači kontradikciju (npr. 0=5). Beskonačno mnogo rješenja znači identitet (npr. 0=0). Kod sustava, paralelni pravci nemaju rješenje, podudarni pravci imaju beskonačno mnogo rješenja, a pravci koji se sijeku imaju jedno jedinstveno rješenje.

Često postavljana pitanja

Kako riješiti linearnu jednadžbu?

Za ax+b=0, premjestite konstantu udesno: ax=-b, zatim podijelite: x=-b/a. Primjer: 2x+6=0 → 2x=-6 → x=-3. Ako je a=0 i b=0, beskonačno mnogo rješenja. Ako je a=0 i b≠0, nema rješenja.

Što je kvadratna formula?

Za ax²+bx+c=0, kvadratna formula je x=(-b±√(b²-4ac))/(2a). Znak ± znači dva rješenja. Izraz b²-4ac je diskriminanta, koja određuje jesu li rješenja realna ili kompleksna.

Što nam govori diskriminanta?

Diskriminanta Δ=b²-4ac određuje vrste rješenja. Δ>0: Dva različita realna rješenja. Δ=0: Jedno ponovljeno realno rješenje (dvostruki korijen). Δ<0: Dva kompleksno konjugirana rješenja (nema realnih rješenja).

Kako riješiti sustav jednadžbi?

Za 2×2 sustave koristite Cramerovo pravilo s determinantama. Izračunajte glavnu determinantu: Δ=a₁b₂-a₂b₁. Ako je Δ≠0, postoji jedinstveno rješenje: x=(c₁b₂-c₂b₁)/Δ, y=(a₁c₂-a₂c₁)/Δ. Ako je Δ=0, nema jedinstvenog rješenja (paralelni ili podudarni pravci).

Što su kompleksna rješenja?

Kompleksna rješenja pojavljuju se kada je diskriminanta negativna. Ona uključuju imaginarnu jedinicu i gdje je i²=-1. Format: a±bi gdje je a realni dio, b imaginarni dio. Primjer: x²+4=0 → x=±2i.

Može li kvadratna jednadžba imati samo jedno rješenje?

Da, kada je diskriminanta jednaka nuli (b²-4ac=0). To je dvostruki korijen gdje su oba rješenja jednaka. Primjer: x²-6x+9=0 ima diskriminantu 36-36=0, što daje x=3 (ponovljeno). Parabola dodiruje x-os u točno jednoj točki.

Što ako je koeficijent a linearne jednadžbe nula?

Ako je a=0 u ax+b=0, jednadžba postaje 0x+b=0 ili samo b=0. Ako je b=0, zadovoljava je bilo koji x (beskonačno mnogo rješenja). Ako je b≠0, ne zadovoljava je nijedan x (nema rješenja). Ovo je degenerirani slučaj, nije uistinu linearna jednadžba po x.

Koliko je točan ovaj rješavač jednadžbi?

Ovaj rješavač koristi JavaScriptovu aritmetiku dvostruke preciznosti (oko 15-17 značajnih znamenki). Rezultati se formatiraju na 10 decimalnih mjesta. Za većinu obrazovnih i praktičnih svrha, ova je preciznost više nego dovoljna. Vrlo veliki koeficijenti mogu izgubiti nešto preciznosti.