Gleichungslöser

Lösen Sie lineare, quadratische und Gleichungssysteme

Kostenloser Online-Gleichungslöser mit Schritt-für-Schritt-Lösungen. Lösen Sie lineare Gleichungen (ax+b=0), quadratische Gleichungen (ax²+bx+c=0) und 2×2 lineare Gleichungssysteme. Keine Registrierung erforderlich.

Anleitung

Einfacher 3-Schritte-Prozess zum Lösen von Gleichungen:

Schritt 1: Gleichungstyp auswählen
Wählen Sie über die Registerkarten zwischen linearer Gleichung, quadratischer Gleichung oder Gleichungssystem
Schritt 2: Koeffizienten eingeben
Geben Sie die Koeffizienten (a, b, c) für Ihre Gleichung ein. Beispielwerte sind vorausgefüllt, um Ihnen den Einstieg zu erleichtern
Schritt 3: Lösung erhalten
Klicken Sie auf die Schaltfläche "Lösen", um die Lösung mit einer Schritt-für-Schritt-Erklärung anzuzeigen

Alle Berechnungen werden in Ihrem Browser durchgeführt. Es werden keine Daten an unsere Server gesendet.

Gleichungslöser-Tool

Löser für lineare Gleichungen

ax + b = 0

a (Koeffizient)

b (Absolutglied)

Löser für quadratische Gleichungen

ax² + bx + c = 0

a (Koeffizient von x²)

b (Koeffizient von x)

c (Absolutglied)

Lineares Gleichungssystem (2×2)

a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

Gleichung 1: x + y =

Gleichung 2: x + y =

Praktische Anwendungsfälle

Gleichungslöser sind wesentliche Werkzeuge in vielen Disziplinen:

1. Physik-Probleme

Bewegungsgleichungen lösen: s = ut + ½at² (quadratisch für die Zeit). Geschwindigkeit finden: v = u + at (linear). Projektilbahnen, Beschleunigung und Kraftbeziehungen berechnen. Wesentlich für Mechanik-, Kinematik- und Dynamikprobleme.

2. Ingenieurwesen und Design

Schaltungsanalyse: V = IR (linear). Strukturberechnungen: Spannungs-Dehnungs-Beziehungen. Optimierungsprobleme: Kosten minimieren bei Einhaltung von Randbedingungen. Gleichungssysteme für Lastverteilung, Wärmeberechnungen und Materialeigenschaften.

3. Wirtschaft und Business

Break-Even-Analyse: Umsatz = Kosten (linear). Gewinnmaximierung: quadratische Umsatzfunktionen. Angebots-Nachfrage-Gleichgewicht: Gleichungssysteme lösen. Kapitalrenditen, Produktionsoptimierung und Preisstrategien.

4. Informatik und Programmierung

Algorithmenkomplexität: n in T(n)-Gleichungen lösen. Grafik: Raytracing (quadratisch für Schnittpunkte). Spielphysik: Kollisionserkennung, Flugbahnberechnungen. Netzwerkfluss: Systeme für optimales Routing lösen.

5. Mathematikausbildung

Techniken zum Lösen von Gleichungen lernen: Faktorisierung, Mitternachtsformel (quadratische Formel), Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren. Diskriminanten, Nullstellen und Lösungsmengen verstehen. Algebra-Grundlagen für Analysis, Lineare Algebra und Differentialgleichungen üben.

Was ist das Lösen von Gleichungen?

Eine Gleichung ist eine mathematische Aussage mit einem Gleichheitszeichen. Das Lösen einer Gleichung bedeutet, den Wert (die Werte) der Variablen zu finden, die die Gleichung wahr machen.

Arten von Gleichungen

Lineare Gleichung (ax+b=0): Erster Grad, eine Lösung. Beispiel: 2x+6=0 → x=-3. Quadratische Gleichung (ax²+bx+c=0): Zweiter Grad, 0, 1 oder 2 reelle Lösungen. Beispiel: x²-5x+6=0 → x=2 oder x=3. Gleichungssystem: Mehrere Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Beispiel: 2x+3y=8, 3x-y=5 → x=1, y=2.

Lösungsmethoden

Linear: x isolieren, indem die Konstante auf die rechte Seite gebracht wird. Quadratisch: Mitternachtsformel x=(-b±√(b²-4ac))/(2a), Faktorisierung oder quadratische Ergänzung verwenden. Die Diskriminante (b²-4ac) bestimmt die Art der Nullstellen: >0 (zwei reelle), =0 (eine reelle), <0 (komplexe). System: Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren oder Cramersche Regel (Determinanten).

Lösungen verstehen

Reelle Lösungen sind Zahlen auf der Zahlengeraden. Komplexe Lösungen beinhalten die imaginäre Einheit i (√-1). Keine Lösung bedeutet einen Widerspruch (z. B. 0=5). Unendlich viele Lösungen bedeuten eine Identität (z. B. 0=0). Bei Systemen haben parallele Geraden keine Lösung, identische Geraden haben unendlich viele Lösungen, und sich schneidende Geraden haben eine eindeutige Lösung.

Häufig gestellte Fragen

Wie löse ich eine lineare Gleichung?

Bei ax+b=0 die Konstante nach rechts bringen: ax=-b, dann dividieren: x=-b/a. Beispiel: 2x+6=0 → 2x=-6 → x=-3. Wenn a=0 und b=0, unendlich viele Lösungen. Wenn a=0 und b≠0, keine Lösung.

Was ist die Mitternachtsformel (quadratische Lösungsformel)?

Für ax²+bx+c=0 lautet die Mitternachtsformel x=(-b±√(b²-4ac))/(2a). Das ± bedeutet zwei Lösungen. Der Term b²-4ac ist die Diskriminante, die bestimmt, ob die Lösungen reell oder komplex sind.

Was sagt uns die Diskriminante?

Die Diskriminante Δ=b²-4ac bestimmt die Art der Lösungen. Δ>0: Zwei verschiedene reelle Lösungen. Δ=0: Eine doppelte reelle Lösung (Nullstellen sind gleich). Δ<0: Zwei konjugiert komplexe Lösungen (keine reellen Lösungen).

Wie löse ich ein Gleichungssystem?

Für 2×2-Systeme die Cramersche Regel mit Determinanten verwenden. Hauptdeterminante berechnen: Δ=a₁b₂-a₂b₁. Wenn Δ≠0, existiert eine eindeutige Lösung: x=(c₁b₂-c₂b₁)/Δ, y=(a₁c₂-a₂c₁)/Δ. Wenn Δ=0, keine eindeutige Lösung (parallele oder identische Geraden).

Was sind komplexe Lösungen?

Komplexe Lösungen treten auf, wenn die Diskriminante negativ ist. Sie beinhalten die imaginäre Einheit i, wobei i²=-1. Format: a±bi, wobei a der Realteil und b der Imaginärteil ist. Beispiel: x²+4=0 → x=±2i.

Kann eine quadratische Gleichung nur eine Lösung haben?

Ja, wenn die Diskriminante gleich null ist (b²-4ac=0). Dies ist eine doppelte Nullstelle, bei der beide Lösungen gleich sind. Beispiel: x²-6x+9=0 hat die Diskriminante 36-36=0, was x=3 (doppelt) ergibt. Die Parabel berührt die x-Achse an genau einem Punkt.

Was ist, wenn der Koeffizient a der linearen Gleichung null ist?

Wenn a=0 in ax+b=0, wird die Gleichung zu 0x+b=0 oder nur b=0. Wenn b=0, erfüllt jedes x die Gleichung (unendlich viele Lösungen). Wenn b≠0, erfüllt kein x sie (keine Lösung). Dies ist ein degenerierter Fall, keine echte lineare Gleichung in x.

Wie genau ist dieser Gleichungslöser?

Dieser Löser verwendet JavaScripts Gleitkommaarithmetik mit doppelter Genauigkeit (ca. 15-17 signifikante Ziffern). Ergebnisse werden auf 10 Dezimalstellen formatiert. Für die meisten Bildungs- und Praxiszwecke ist diese Genauigkeit mehr als ausreichend. Sehr große Koeffizienten können an Präzision verlieren.