คำนวณพื้นที่สามเหลี่ยมจากความยาวด้าน
การใช้เครื่องคิดเลขสูตรของเฮรอนนั้นง่ายมาก:
ป้อนค่า ผลลัพธ์จะแสดงแบบเรียลไทม์
สูตรของเฮรอนได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกโดยฮีโรแห่งอเล็กซานเดรีย (ประมาณ 10-70 ค.ศ.) ในตำราคณิตศาสตร์ของเขา 'เมตริกา' อย่างไรก็ตาม ภายหลังพบว่าสูตรนี้เป็นที่รู้จักของอาร์คิมิดีสหลายศตวรรษก่อนหน้านั้น สูตรนี้มีความโดดเด่นเพราะสามารถคำนวณพื้นที่สามเหลี่ยมได้โดยใช้เพียงความยาวด้านเท่านั้น โดยไม่จำเป็นต้องทราบมุมหรือความสูง
สูตรของเฮรอนประกอบด้วยสองขั้นตอนหลัก:
โดยที่ a, b และ c คือความยาวของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม
ในการใช้สูตรของเฮรอน ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:
สูตรของเฮรอนถูกนำไปใช้ในงานจริงหลายอย่าง:
ในการสำรวจและอสังหาริมทรัพย์ เมื่อวัดแปลงที่ดินรูปสามเหลี่ยม สูตรของเฮรอนช่วยให้คำนวณพื้นที่ได้จากการวัดระยะทางเท่านั้น โดยไม่จำเป็นต้องวัดมุม
ในระบบ GPS และการคำนวณการนำทาง เมื่อกำหนดตำแหน่งจากระยะทางไปยังจุดหลายจุด สูตรของเฮรอนจะใช้ในการคำนวณพื้นที่และตรวจสอบความแม่นยำของตำแหน่ง
ในงานวิศวกรรมโยธาและการออกแบบสถาปัตยกรรม เมื่อคำนวณพื้นที่ขององค์ประกอบโครงสร้างและแผงรูปสามเหลี่ยม สูตรของเฮรอนจะช่วยให้คำนวณพื้นที่ได้อย่างรวดเร็ว
ในการสร้างแบบจำลอง 3 มิติและการพัฒนาเกม รูปหลายเหลี่ยมสามเหลี่ยมเป็นองค์ประกอบพื้นฐาน และสูตรของเฮรอนใช้ในการคำนวณพื้นที่ผิวและการคำนวณแสง
ในการศึกษาเรขาคณิต สูตรของเฮรอนถูกสอนเป็นทฤษฎีบทที่สำคัญที่ให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างด้านของสามเหลี่ยมและพื้นที่
ความยาวด้าน: a = 5, b = 5, c = 5
กึ่งเส้นรอบรูป: s = (5 + 5 + 5) / 2 = 7.5
พื้นที่: S = √[7.5 × 2.5 × 2.5 × 2.5] = √117.1875 ≈ 10.825
ความยาวด้าน: a = 3, b = 4, c = 5
กึ่งเส้นรอบรูป: s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
พื้นที่: S = √[6 × 3 × 2 × 1] = √36 = 6
สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก นี่ตรงกับสูตร (ฐาน × สูง) / 2 = (3 × 4) / 2 = 6
ความยาวด้าน: a = 7, b = 8, c = 9
กึ่งเส้นรอบรูป: s = (7 + 8 + 9) / 2 = 12
พื้นที่: S = √[12 × 5 × 4 × 3] = √720 ≈ 26.833
ต่างจากสูตรมาตรฐาน (ฐาน × สูง / 2) สูตรของเฮรอนคำนวณพื้นที่จากความยาวด้านเท่านั้น ทำให้มีประโยชน์เมื่อความสูงวัดยาก
ไม่ว่าจะเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า สามเหลี่ยมหน้าจั่ว สามเหลี่ยมด้านไม่เท่า สามเหลี่ยมมุมแหลม สามเหลี่ยมมุมฉาก หรือสามเหลี่ยมมุมป้าน สูตรของเฮรอนใช้ได้กับสามเหลี่ยมทุกประเภทด้วยสูตรเดียว
การใช้เครื่องคิดเลขหรือคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ สูตรของเฮรอนสามารถคำนวณพื้นที่ได้อย่างแม่นยำสูงมาก
สูตรของเฮรอนนำไปใช้ในโปรแกรมได้ง่าย โดยต้องใช้เพียงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน (การบวก การลบ การคูณ และรากที่สอง)
สำหรับสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เล็กมาก (สามเหลี่ยมที่เกือบจะเสื่อมสภาพ) การคำนวณแบบจุดลอยตัวอาจนำไปสู่ข้อผิดพลาดในการปัดเศษที่สำคัญ ในกรณีเช่นนี้ สูตรทางเลือกที่เสถียรเชิงตัวเลข เช่น สูตรของคาฮาน อาจมีความเสถียรมากกว่า
ก่อนการคำนวณ คุณต้องตรวจสอบว่าด้านทั้งสามสามารถสร้างสามเหลี่ยมที่ถูกต้องได้ (อสมการสามเหลี่ยม: ผลรวมของด้านสองด้านใดๆ จะต้องมากกว่าด้านที่สาม)
ความยาวด้านทั้งหมดต้องเป็นจำนวนบวก ค่าศูนย์หรือค่าลบจะส่งผลให้การคำนวณไม่ถูกต้อง
สูตรของเฮรอนเป็นสูตรทางคณิตศาสตร์สำหรับคำนวณพื้นที่สามเหลี่ยมจากความยาวสามด้าน ได้รับการพิสูจน์โดยฮีโรแห่งอเล็กซานเดรียในสมัยโบราณ
มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อคุณทราบความยาวด้านทั้งสาม แต่ไม่ทราบความสูงหรือมุมของสามเหลี่ยม เช่น ในการสำรวจที่ดิน หรือเมื่อวัดวัตถุรูปสามเหลี่ยม
ใช่ ใช้ได้กับสามเหลี่ยมทุกประเภท (ด้านเท่า, หน้าจั่ว, ด้านไม่เท่า, มุมแหลม, มุมฉาก และมุมป้าน) ตราบใดที่ด้านทั้งสามสามารถสร้างสามเหลี่ยมที่ถูกต้องได้
คุณสามารถใช้หน่วยใดก็ได้ (เมตร, เซนติเมตร, ฟุต ฯลฯ) แต่ด้านทั้งสามต้องใช้หน่วยเดียวกัน พื้นที่ที่ได้จะเป็นหน่วยตารางของหน่วยอินพุต
สาเหตุทั่วไป ได้แก่ การป้อนค่าลบหรือศูนย์ หรือการป้อนความยาวด้านที่ละเมิดอสมการสามเหลี่ยม (โดยที่ผลรวมของด้านสองด้านไม่มากกว่าด้านที่สาม)
สำหรับสามเหลี่ยมที่แบนมาก (สามเหลี่ยมที่เกือบจะเสื่อมสภาพ) ข้อผิดพลาดในการปัดเศษแบบจุดลอยตัวอาจสะสมได้ ในกรณีเช่นนี้ ขอแนะนำให้ใช้สูตรทางเลือกที่เสถียรเชิงตัวเลข เช่น สูตรของคาฮาน
สูตรของเฮรอนเองใช้สำหรับสามเหลี่ยมระนาบเท่านั้น สำหรับสามเหลี่ยมสามมิติในอวกาศ คุณจะต้องพิจารณาก่อนว่าจุดทั้งสามอยู่บนระนาบเดียวกันหรือไม่ และคำนวณความยาวด้าน
สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก สูตรของเฮรอนให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับ (ฐาน × สูง) / 2 สำหรับสามเหลี่ยมที่คุณทราบความยาวด้านและมุม คุณสามารถใช้ (1/2)ab sin C ได้เช่นกัน แต่สูตรของเฮรอนไม่ต้องการข้อมูลมุม