Calcule a Área do Triângulo a partir dos Comprimentos dos Lados
Usar a Calculadora da fórmula de Heron é muito simples:
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A fórmula de Heron foi provada pela primeira vez por Heron de Alexandria (c. 10-70 d.C.) em seu tratado matemático 'Metrica'. No entanto, foi descoberto posteriormente que esta fórmula era conhecida por Arquimedes vários séculos antes. Esta fórmula é notável porque pode calcular a área de um triângulo usando apenas os comprimentos de seus lados, sem precisar conhecer ângulos ou alturas.
A fórmula de Heron consiste em duas etapas principais:
Onde a, b e c são os comprimentos dos três lados do triângulo.
Para usar a fórmula de Heron, as seguintes condições devem ser atendidas:
A fórmula de Heron é usada em várias aplicações do mundo real:
Em topografia e imobiliário, ao medir lotes de terreno triangulares, a fórmula de Heron permite o cálculo da área apenas a partir de medições de distância, sem precisar de medições de ângulos.
Em sistemas GPS e cálculos de navegação, ao determinar posições a partir de distâncias para múltiplos pontos, a fórmula de Heron é usada para calcular áreas e verificar a precisão posicional.
Em engenharia civil e design arquitetônico, ao calcular as áreas de elementos estruturais e painéis triangulares, a fórmula de Heron fornece cálculos rápidos de área.
Em modelagem 3D e desenvolvimento de jogos, polígonos triangulares são elementos fundamentais, e a fórmula de Heron é usada para calcular áreas de superfície e para cálculos de iluminação.
No ensino de geometria, a fórmula de Heron é ensinada como um teorema importante que fornece compreensão sobre a relação entre os lados do triângulo e a área.
Comprimentos dos lados: a = 5, b = 5, c = 5
Semiperímetro: s = (5 + 5 + 5) / 2 = 7.5
Área: S = √[7.5 × 2.5 × 2.5 × 2.5] = √117.1875 ≈ 10.825
Comprimentos dos lados: a = 3, b = 4, c = 5
Semiperímetro: s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
Área: S = √[6 × 3 × 2 × 1] = √36 = 6
Para um triângulo retângulo, isto corresponde à fórmula (base × altura) / 2 = (3 × 4) / 2 = 6
Comprimentos dos lados: a = 7, b = 8, c = 9
Semiperímetro: s = (7 + 8 + 9) / 2 = 12
Área: S = √[12 × 5 × 4 × 3] = √720 ≈ 26.833
Ao contrário da fórmula padrão (base × altura / 2), a fórmula de Heron calcula a área apenas a partir dos comprimentos dos lados, tornando-a útil quando a altura é difícil de medir.
Seja equilátero, isósceles, escaleno, agudo, retângulo ou obtuso, a fórmula de Heron funciona para todos os tipos de triângulos com uma única fórmula.
Usando calculadoras modernas ou computadores, a fórmula de Heron pode calcular áreas com precisão muito alta.
A fórmula de Heron é simples de implementar em programação, exigindo apenas operações aritméticas básicas (adição, subtração, multiplicação e raiz quadrada).
Para triângulos com áreas muito pequenas (triângulos quase degenerados), a aritmética de ponto flutuante pode levar a erros de arredondamento significativos. Em tais casos, fórmulas alternativas como a fórmula de Kahan podem ser mais estáveis.
Antes do cálculo, você deve verificar se os três lados podem formar um triângulo válido (desigualdade triangular: a soma de quaisquer dois lados deve exceder o terceiro).
Todos os comprimentos de lados devem ser números positivos. Valores zero ou negativos resultarão em cálculos inválidos.
A fórmula de Heron é uma fórmula matemática para calcular a área de um triângulo a partir dos comprimentos de seus três lados. Foi provada por Heron de Alexandria nos tempos antigos.
É particularmente útil quando você conhece todos os três comprimentos de lados, mas não a altura ou os ângulos do triângulo, como em topografia ou ao medir objetos triangulares.
Sim, funciona para todos os tipos de triângulos (equiláteros, isósceles, escalenos, agudos, retângulos e obtusos), desde que os três lados possam formar um triângulo válido.
Você pode usar quaisquer unidades (metros, centímetros, pés, etc.), mas todos os três lados devem usar a mesma unidade. A área resultante estará em unidades quadradas da unidade de entrada.
Razões comuns incluem: inserir valores negativos ou zero, ou inserir comprimentos de lados que violam a desigualdade triangular (onde a soma de dois lados não é maior que o terceiro).
Para triângulos muito planos (quase degenerados), erros de arredondamento de ponto flutuante podem se acumular. Para tais casos, alternativas numericamente estáveis como a fórmula de Kahan são recomendadas.
A fórmula de Heron em si é apenas para triângulos planares. Para triângulos tridimensionais no espaço, você precisaria primeiro determinar se os três pontos são coplanares e calcular os comprimentos dos lados.
Para triângulos retângulos, a fórmula de Heron dá o mesmo resultado que (base × altura) / 2. Para triângulos onde você conhece os comprimentos dos lados e os ângulos, você também poderia usar (1/2)ab sin C, mas a fórmula de Heron não requer informações angulares.