Обчисліть Площу Трикутника за Довжинами Сторін
Використання Калькулятора формули Герона дуже просте:
Введіть значення. Результати відображаються в реальному часі.
Формулу Герона вперше довів Герон Олександрійський (бл. 10-70 н.е.) у своєму математичному трактаті 'Metrica'. Однак пізніше було виявлено, що ця формула була відома Архімеду кількома століттями раніше. Ця формула є унікальною, оскільки може обчислювати площу трикутника, використовуючи лише довжини його сторін, без потреби знати кути чи висоти.
Формула Герона складається з двох основних кроків:
Де a, b і c — це довжини трьох сторін трикутника.
Для використання формули Герона повинні бути виконані наступні умови:
Формула Герона використовується в різних практичних застосуваннях:
У геодезії та нерухомості, при вимірюванні трикутних ділянок землі, формула Герона дозволяє обчислити площу лише з вимірювань відстані, без потреби вимірювання кутів.
У системах GPS та навігаційних обчисленнях, при визначенні позицій з відстаней до кількох точок, формула Герона використовується для обчислення площ та перевірки точності позиції.
У цивільній інженерії та архітектурному проектуванні, при обчисленні площ трикутних конструкційних елементів та панелей, формула Герона забезпечує швидкі обчислення площі.
У 3D моделюванні та розробці ігор трикутні багатокутники є основними елементами, і формула Герона використовується для обчислення площ поверхонь та для обчислень освітлення.
У геометричній освіті формула Герона викладається як важлива теорема, яка дає уявлення про зв'язок між сторонами трикутника та площею.
Довжини сторін: a = 5, b = 5, c = 5
Напівпериметр: s = (5 + 5 + 5) / 2 = 7.5
Площа: S = √[7.5 × 2.5 × 2.5 × 2.5] = √117.1875 ≈ 10.825
Довжини сторін: a = 3, b = 4, c = 5
Напівпериметр: s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
Площа: S = √[6 × 3 × 2 × 1] = √36 = 6
Для прямокутного трикутника це відповідає формулі (основа × висота) / 2 = (3 × 4) / 2 = 6
Довжини сторін: a = 7, b = 8, c = 9
Напівпериметр: s = (7 + 8 + 9) / 2 = 12
Площа: S = √[12 × 5 × 4 × 3] = √720 ≈ 26.833
На відміну від стандартної формули (основа × висота / 2), формула Герона обчислює площу лише з довжин сторін, що робить її корисною, коли висоту важко виміряти.
Чи то рівносторонній, рівнобедрений, різносторонній, гострокутний, прямокутний чи тупокутний, формула Герона працює для всіх типів трикутників однією формулою.
Використовуючи сучасні калькулятори або комп'ютери, формула Герона може обчислювати площі з дуже високою точністю.
Формула Герона проста для реалізації в програмуванні, вимагаючи лише основних арифметичних операцій (додавання, віднімання, множення та квадратного кореня).
Для трикутників з дуже малими площами (майже вироджених трикутників), арифметика з плаваючою точкою може призвести до значних помилок округлення. У таких випадках альтернативні формули, такі як формула Кахана, можуть бути більш стабільними.
Перед обчисленням необхідно перевірити, що три сторони можуть утворити правильний трикутник (нерівність трикутника: сума будь-яких двох сторін повинна перевищувати третю).
Всі довжини сторін повинні бути додатними числами. Нульові або від'ємні значення призведуть до недійсних обчислень.
Формула Герона — це математична формула для обчислення площі трикутника за довжинами його трьох сторін. Вона була доведена Героном Олександрійським у стародавні часи.
Вона особливо корисна, коли ви знаєте всі три довжини сторін, але не знаєте висоту або кути трикутника, наприклад, у геодезії або при вимірюванні трикутних об'єктів.
Так, вона працює для всіх типів трикутників (рівносторонніх, рівнобедрених, різносторонніх, гострокутних, прямокутних і тупокутних), якщо три сторони можуть утворити правильний трикутник.
Ви можете використовувати будь-які одиниці (метри, сантиметри, фути тощо), але всі три сторони повинні використовувати одну і ту ж одиницю. Результуюча площа буде в квадратних одиницях вхідної одиниці.
Поширені причини включають: введення від'ємних або нульових значень, або введення довжин сторін, які порушують нерівність трикутника (де сума двох сторін не більша за третю).
Для дуже плоских трикутників (майже вироджених), помилки округлення з плаваючою точкою можуть накопичуватися. Для таких випадків рекомендуються чисельно стабільні альтернативи, такі як формула Кахана.
Сама формула Герона призначена лише для плоских трикутників. Для тривимірних трикутників у просторі спочатку потрібно визначити, чи три точки є компланарними, і обчислити довжини сторін.
Для прямокутних трикутників формула Герона дає той самий результат, що й (основа × висота) / 2. Для трикутників, де ви знаєте довжини сторін і кути, ви також можете використовувати (1/2)ab sin C, але формула Герона не вимагає інформації про кути.