Calculați aria triunghiului din lungimile laturilor
Utilizarea calculatorului formulei lui Heron este foarte simplă:
Introduceți valori. Rezultatele se afișează în timp real.
Formula lui Heron a fost demonstrată pentru prima dată de Heron din Alexandria (cca 10-70 d.Hr.) în tratatul său matematic 'Metrica'. Cu toate acestea, s-a descoperit ulterior că această formulă era cunoscută lui Arhimede cu câteva secole mai devreme. Această formulă este remarcabilă deoarece poate calcula aria unui triunghi folosind doar lungimile laturilor sale, fără a fi nevoie să cunoaștem unghiurile sau înălțimile.
Formula lui Heron constă din două etape principale:
Unde a, b și c sunt lungimile celor trei laturi ale triunghiului.
Pentru a utiliza formula lui Heron, trebuie îndeplinite următoarele condiții:
Formula lui Heron este utilizată în diverse aplicații din lumea reală:
În topografie și imobiliare, când se măsoară parcele de teren triunghiulare, formula lui Heron permite calcularea ariei doar din măsurători de distanță, fără a fi nevoie de măsurători de unghiuri.
În sistemele GPS și calculele de navigație, când se determină pozițiile din distanțele față de mai multe puncte, formula lui Heron este utilizată pentru a calcula arii și pentru a verifica precizia poziției.
În ingineria civilă și designul arhitectural, când se calculează ariile elementelor structurale și panourilor triunghiulare, formula lui Heron oferă calcule rapide ale ariei.
În modelarea 3D și dezvoltarea de jocuri, poligoanele triunghiulare sunt elemente fundamentale, iar formula lui Heron este utilizată pentru a calcula suprafețele și pentru calculele de iluminare.
În educația geometrică, formula lui Heron este predată ca o teoremă importantă care oferă perspective asupra relației dintre laturile triunghiului și arie.
Lungimile laturilor: a = 5, b = 5, c = 5
Semiperimetru: s = (5 + 5 + 5) / 2 = 7,5
Arie: S = √[7,5 × 2,5 × 2,5 × 2,5] = √117,1875 ≈ 10,825
Lungimile laturilor: a = 3, b = 4, c = 5
Semiperimetru: s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
Arie: S = √[6 × 3 × 2 × 1] = √36 = 6
Pentru un triunghi dreptunghic, acesta corespunde formulei (bază × înălțime) / 2 = (3 × 4) / 2 = 6
Lungimile laturilor: a = 7, b = 8, c = 9
Semiperimetru: s = (7 + 8 + 9) / 2 = 12
Arie: S = √[12 × 5 × 4 × 3] = √720 ≈ 26,833
Spre deosebire de formula standard (bază × înălțime / 2), formula lui Heron calculează aria doar din lungimile laturilor, fiind utilă atunci când înălțimea este dificil de măsurat.
Fie că este echilateral, isoscel, scalene, ascuțit, dreptunghic sau obtuz, formula lui Heron funcționează pentru toate tipurile de triunghiuri cu o singură formulă.
Folosind calculatoare sau computere moderne, formula lui Heron poate calcula arii cu o precizie foarte ridicată.
Formula lui Heron este simplă de implementat în programare, necesitând doar operații aritmetice de bază (adunare, scădere, înmulțire și rădăcină pătrată).
Pentru triunghiuri cu arii foarte mici (triunghiuri aproape degenerate), aritmetica în virgulă mobilă poate duce la erori semnificative de rotunjire. În astfel de cazuri, formule alternative precum formula lui Kahan pot fi mai stabile.
Înainte de calcul, trebuie să verificați că cele trei laturi pot forma un triunghi valid (inegalitatea triunghiului: suma oricăror două laturi trebuie să depășească a treia).
Toate lungimile laturilor trebuie să fie numere pozitive. Valorile zero sau negative vor duce la calcule invalide.
Formula lui Heron este o formulă matematică pentru calcularea ariei unui triunghi din lungimile celor trei laturi ale sale. A fost demonstrată de Heron din Alexandria în antichitate.
Este utilă în special atunci când cunoașteți toate cele trei lungimi ale laturilor, dar nu înălțimea sau unghiurile triunghiului, cum ar fi în topografie sau la măsurarea obiectelor triunghiulare.
Da, funcționează pentru toate tipurile de triunghiuri (echilateral, isoscel, scalene, ascuțit, dreptunghic și obtuz), atâta timp cât cele trei laturi pot forma un triunghi valid.
Puteți folosi orice unități (metri, centimetri, picioare etc.), dar toate cele trei laturi trebuie să folosească aceeași unitate. Aria rezultată va fi în unități pătrate ale unității de intrare.
Motive comune includ: introducerea de valori negative sau zero, sau introducerea de lungimi ale laturilor care încalcă inegalitatea triunghiului (unde suma a două laturi nu este mai mare decât a treia).
Pentru triunghiuri foarte plate (aproape degenerate), erorile de rotunjire în virgulă mobilă se pot acumula. Pentru astfel de cazuri, alternative stabile numeric, precum formula lui Kahan, sunt recomandate.
Formula lui Heron este doar pentru triunghiuri planare. Pentru triunghiuri tridimensionale în spațiu, trebuie mai întâi să determinați dacă cele trei puncte sunt coplanare și să calculați lungimile laturilor.
Pentru triunghiuri dreptunghice, formula lui Heron dă același rezultat ca (bază × înălțime) / 2. Pentru triunghiuri unde cunoașteți lungimile laturilor și unghiurile, ați putea folosi și (1/2)ab sin C, dar formula lui Heron nu necesită informații despre unghiuri.