বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনা করুন
হেরনের সূত্র ক্যালকুলেটর ব্যবহার করা খুব সহজ:
মান লিখুন। ফলাফল রিয়েল-টাইমে প্রদর্শিত হয়।
হেরনের সূত্রটি আলেকজান্দ্রিয়ার হিরো (আনুমানিক 10-70 খ্রিস্টাব্দ) তার 'মেট্রিকা' নামক গাণিতিক গ্রন্থে প্রথম প্রমাণ করেছিলেন। তবে, পরে আবিষ্কৃত হয় যে এই সূত্রটি আর্কিমিডিসের কয়েক শতাব্দী আগে থেকেই জানা ছিল। এই সূত্রটি উল্লেখযোগ্য কারণ এটি শুধুমাত্র বাহুর দৈর্ঘ্য ব্যবহার করে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনা করতে পারে, কোণ বা উচ্চতা জানার প্রয়োজন ছাড়াই।
হেরনের সূত্র দুটি প্রধান ধাপ নিয়ে গঠিত:
যেখানে a, b এবং c হল ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য।
হেরনের সূত্র ব্যবহার করতে, নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করতে হবে:
হেরনের সূত্র বিভিন্ন বাস্তব-বিশ্ব অ্যাপ্লিকেশনে ব্যবহৃত হয়:
জরিপ এবং রিয়েল এস্টেটে, ত্রিভুজাকার জমির প্লট পরিমাপ করার সময়, হেরনের সূত্র শুধুমাত্র দূরত্বের পরিমাপ থেকে ক্ষেত্রফল গণনা করার অনুমতি দেয়, কোণ পরিমাপের প্রয়োজন ছাড়াই।
জিপিএস সিস্টেম এবং নেভিগেশন গণনায়, একাধিক বিন্দু থেকে দূরত্ব থেকে অবস্থান নির্ধারণ করার সময়, হেরনের সূত্র ক্ষেত্রফল গণনা এবং অবস্থানগত নির্ভুলতা যাচাই করতে ব্যবহৃত হয়।
সিভিল ইঞ্জিনিয়ারিং এবং স্থাপত্য নকশায়, ত্রিভুজাকার কাঠামোগত উপাদান এবং প্যানেলের ক্ষেত্রফল গণনা করার সময়, হেরনের সূত্র দ্রুত ক্ষেত্রফল গণনা প্রদান করে।
3D মডেলিং এবং গেম ডেভেলপমেন্টে, ত্রিভুজাকার বহুভুজগুলি মৌলিক উপাদান, এবং হেরনের সূত্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল এবং আলোর গণনার জন্য ব্যবহৃত হয়।
জ্যামিতি শিক্ষায়, হেরনের সূত্র একটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য হিসাবে শেখানো হয় যা ত্রিভুজের বাহু এবং ক্ষেত্রফলের মধ্যে সম্পর্ক সম্পর্কে অন্তর্দৃষ্টি প্রদান করে।
বাহুর দৈর্ঘ্য: a = 5, b = 5, c = 5
অর্ধ-পরিসীমা: s = (5 + 5 + 5) / 2 = 7.5
ক্ষেত্রফল: S = √[7.5 × 2.5 × 2.5 × 2.5] = √117.1875 ≈ 10.825
বাহুর দৈর্ঘ্য: a = 3, b = 4, c = 5
অর্ধ-পরিসীমা: s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
ক্ষেত্রফল: S = √[6 × 3 × 2 × 1] = √36 = 6
একটি সমকোণী ত্রিভুজের জন্য, এটি সূত্র (ভূমি × উচ্চতা) / 2 = (3 × 4) / 2 = 6 এর সাথে মিলে যায়
বাহুর দৈর্ঘ্য: a = 7, b = 8, c = 9
অর্ধ-পরিসীমা: s = (7 + 8 + 9) / 2 = 12
ক্ষেত্রফল: S = √[12 × 5 × 4 × 3] = √720 ≈ 26.833
স্ট্যান্ডার্ড সূত্র (ভূমি × উচ্চতা / 2) এর বিপরীতে, হেরনের সূত্র শুধুমাত্র বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে ক্ষেত্রফল গণনা করে, যা উচ্চতা পরিমাপ করা কঠিন হলে এটি কার্যকর করে তোলে।
সমবাহু, সমদ্বিবাহু, বিষমবাহু, সূক্ষ্মকোণী, সমকোণী বা স্থূলকোণী যাই হোক না কেন, হেরনের সূত্র একটি একক সূত্র দিয়ে সমস্ত ত্রিভুজ প্রকারের জন্য কাজ করে।
আধুনিক ক্যালকুলেটর বা কম্পিউটার ব্যবহার করে, হেরনের সূত্র খুব উচ্চ নির্ভুলতার সাথে ক্ষেত্রফল গণনা করতে পারে।
হেরনের সূত্র প্রোগ্রামিংয়ে বাস্তবায়ন করা সহজ, শুধুমাত্র মৌলিক গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ (যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং বর্গমূল) প্রয়োজন।
খুব ছোট ক্ষেত্রফল (প্রায় অধঃপতিত ত্রিভুজ) সহ ত্রিভুজগুলির জন্য, ফ্লোটিং-পয়েন্ট পাটিগণিত উল্লেখযোগ্য রাউন্ডিং ত্রুটির কারণ হতে পারে। এই ধরনের ক্ষেত্রে, কাহানের সূত্রের মতো বিকল্প সূত্রগুলি আরও স্থিতিশীল হতে পারে।
গণনার আগে, আপনাকে অবশ্যই যাচাই করতে হবে যে তিনটি বাহু একটি বৈধ ত্রিভুজ গঠন করতে পারে (ত্রিভুজ অসমতা: যেকোনো দুটি বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর চেয়ে বেশি হতে হবে)।
সমস্ত বাহুর দৈর্ঘ্য ধনাত্মক সংখ্যা হতে হবে। শূন্য বা ঋণাত্মক মানগুলি অবৈধ গণনার কারণ হবে।
হেরনের সূত্র হল একটি গাণিতিক সূত্র যা একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে তার ক্ষেত্রফল গণনা করে। এটি প্রাচীনকালে আলেকজান্দ্রিয়ার হিরো দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল।
এটি বিশেষভাবে কার্যকর যখন আপনি তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যই জানেন কিন্তু ত্রিভুজের উচ্চতা বা কোণগুলি জানেন না, যেমন ভূমি জরিপে বা ত্রিভুজাকার বস্তু পরিমাপ করার সময়।
হ্যাঁ, এটি সমস্ত ধরণের ত্রিভুজের জন্য কাজ করে (সমবাহু, সমদ্বিবাহু, বিষমবাহু, সূক্ষ্মকোণী, সমকোণী এবং স্থূলকোণী), যতক্ষণ না তিনটি বাহু একটি বৈধ ত্রিভুজ গঠন করতে পারে।
আপনি যেকোনো একক ব্যবহার করতে পারেন (মিটার, সেন্টিমিটার, ফুট ইত্যাদি), তবে তিনটি বাহুরই একই একক ব্যবহার করতে হবে। ফলস্বরূপ ক্ষেত্রফল ইনপুট এককের বর্গ এককে হবে।
সাধারণ কারণগুলির মধ্যে রয়েছে: ঋণাত্মক বা শূন্য মান প্রবেশ করানো, অথবা বাহুর দৈর্ঘ্য প্রবেশ করানো যা ত্রিভুজ অসমতা লঙ্ঘন করে (যেখানে দুটি বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় নয়)।
খুব সমতল ত্রিভুজগুলির জন্য (প্রায় অধঃপতিত), ফ্লোটিং-পয়েন্ট রাউন্ডিং ত্রুটি জমা হতে পারে। এই ধরনের ক্ষেত্রে, কাহানের সূত্রের মতো সংখ্যাগতভাবে স্থিতিশীল বিকল্পগুলি সুপারিশ করা হয়।
হেরনের সূত্র নিজেই শুধুমাত্র সমতল ত্রিভুজের জন্য। মহাকাশে ত্রিমাত্রিক ত্রিভুজের জন্য, আপনাকে প্রথমে নির্ধারণ করতে হবে যে তিনটি বিন্দু সমতলীয় কিনা এবং বাহুর দৈর্ঘ্য গণনা করতে হবে।
সমকোণী ত্রিভুজের জন্য, হেরনের সূত্র (ভূমি × উচ্চতা) / 2 এর মতো একই ফলাফল দেয়। যে ত্রিভুজগুলির জন্য আপনি বাহুর দৈর্ঘ্য এবং কোণগুলি জানেন, আপনি (1/2)ab sin C ব্যবহার করতে পারেন, তবে হেরনের সূত্রের জন্য কোণের তথ্যের প্রয়োজন হয় না।