Изчислете площта на триъгълник от дължините на страните
Използването на калкулатора на формулата на Херон е много просто:
Въведете стойности. Резултатите се показват в реално време.
Формулата на Херон е доказана за първи път от Херон Александрийски (ок. 10-70 г. сл. Хр.) в неговия математически трактат 'Metrica'. Въпреки това, по-късно се разбра, че тази формула е била известна на Архимед няколко века по-рано. Тази формула е забележителна, защото може да изчисли площта на триъгълник, използвайки само дължините на неговите страни, без да е необходимо да се знаят ъгли или височини.
Формулата на Херон се състои от две основни стъпки:
Където a, b и c са дължините на трите страни на триъгълника.
За да използвате формулата на Херон, трябва да бъдат изпълнени следните условия:
Формулата на Херон се използва в различни реални приложения:
В геодезията и недвижимите имоти, при измерване на триъгълни парцели земя, формулата на Херон позволява изчисляване на площта само от измервания на разстояния, без да е необходимо измерване на ъгли.
В GPS системите и навигационните изчисления, при определяне на позиции от разстояния до множество точки, формулата на Херон се използва за изчисляване на площи и проверка на точността на позицията.
В гражданското инженерство и архитектурния дизайн, при изчисляване на площите на триъгълни конструктивни елементи и панели, формулата на Херон осигурява бързи изчисления на площта.
В 3D моделирането и разработката на игри, триъгълните полигони са основни елементи и формулата на Херон се използва за изчисляване на площи на повърхности и за изчисления на осветлението.
В геометричното образование, формулата на Херон се преподава като важна теорема, която дава представа за връзката между страните на триъгълника и площта.
Дължини на страните: a = 5, b = 5, c = 5
Полупериметър: s = (5 + 5 + 5) / 2 = 7.5
Площ: S = √[7.5 × 2.5 × 2.5 × 2.5] = √117.1875 ≈ 10.825
Дължини на страните: a = 3, b = 4, c = 5
Полупериметър: s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
Площ: S = √[6 × 3 × 2 × 1] = √36 = 6
За правоъгълен триъгълник това съответства на формулата (основа × височина) / 2 = (3 × 4) / 2 = 6
Дължини на страните: a = 7, b = 8, c = 9
Полупериметър: s = (7 + 8 + 9) / 2 = 12
Площ: S = √[12 × 5 × 4 × 3] = √720 ≈ 26.833
За разлика от стандартната формула (основа × височина / 2), формулата на Херон изчислява площта само от дължините на страните, което я прави полезна, когато височината е трудна за измерване.
Независимо дали е равностранен, равнобедрен, разностранен, остроъгълен, правоъгълен или тъпоъгълен, формулата на Херон работи за всички типове триъгълници с една формула.
Използвайки модерни калкулатори или компютри, формулата на Херон може да изчисли площи с много висока точност.
Формулата на Херон е проста за имплементиране в програмирането, изисква само основни аритметични операции (събиране, изваждане, умножение и квадратен корен).
За триъгълници с много малки площи (почти изродени триъгълници), аритметиката с плаваща запетая може да доведе до значителни грешки при закръгляване. В такива случаи алтернативни формули като формулата на Кахан могат да бъдат по-стабилни.
Преди изчисление трябва да проверите дали трите страни могат да образуват валиден триъгълник (неравенство на триъгълника: сумата на всеки две страни трябва да надвишава третата).
Всички дължини на страните трябва да бъдат положителни числа. Нулеви или отрицателни стойности ще доведат до невалидни изчисления.
Формулата на Херон е математическа формула за изчисляване на площта на триъгълник от дължините на трите му страни. Тя е доказана от Херон Александрийски в древността.
Тя е особено полезна, когато знаете дължините на всичките три страни, но не и височината или ъглите на триъгълника, като например в геодезията или при измерване на триъгълни обекти.
Да, тя работи за всички типове триъгълници (равностранни, равнобедрени, разностранни, остроъгълни, правоъгълни и тъпоъгълни), стига трите страни да могат да образуват валиден триъгълник.
Можете да използвате всякакви мерни единици (метри, сантиметри, фута и др.), но и трите страни трябва да използват една и съща мерна единица. Получената площ ще бъде в квадратни единици на входната мерна единица.
Често срещаните причини включват: въвеждане на отрицателни или нулеви стойности, или въвеждане на дължини на страни, които нарушават неравенството на триъгълника (където сумата на две страни не е по-голяма от третата).
За много плоски триъгълници (почти изродени), грешките при закръгляване с плаваща запетая могат да се натрупват. За такива случаи се препоръчват числено стабилни алтернативи като формулата на Кахан.
Самата формула на Херон е само за равнинни триъгълници. За тримерни триъгълници в пространството първо трябва да определите дали трите точки са компланарни и да изчислите дължините на страните.
За правоъгълни триъгълници формулата на Херон дава същия резултат като (основа × височина) / 2. За триъгълници, при които знаете дължините на страните и ъглите, можете също да използвате (1/2)ab sin C, но формулата на Херон не изисква информация за ъглите.