Oblicz Pole Trójkąta z Długości Boków
Korzystanie z Kalkulatora Wzoru Herona jest bardzo proste:
Wprowadź wartości. Wyniki wyświetlają się w czasie rzeczywistym.
Wzór Herona został po raz pierwszy udowodniony przez Herona z Aleksandrii (ok. 10-70 n.e.) w jego matematycznym traktacie 'Metrica'. Jednak później odkryto, że wzór ten był znany Archimedesowi kilka wieków wcześniej. Wzór ten jest niezwykły, ponieważ może obliczać pole trójkąta używając tylko długości jego boków, bez potrzeby znajomości kątów czy wysokości.
Wzór Herona składa się z dwóch głównych kroków:
Gdzie a, b i c to długości trzech boków trójkąta.
Aby użyć wzoru Herona, muszą być spełnione następujące warunki:
Wzór Herona jest używany w różnych praktycznych zastosowaniach:
W geodezji i nieruchomościach, podczas pomiaru trójkątnych działek, wzór Herona pozwala obliczyć pole tylko z pomiarów odległości, bez potrzeby pomiarów kątów.
W systemach GPS i obliczeniach nawigacyjnych, przy określaniu pozycji z odległości do wielu punktów, wzór Herona jest używany do obliczania pól i weryfikacji dokładności pozycji.
W inżynierii lądowej i projektowaniu architektonicznym, przy obliczaniu pól trójkątnych elementów konstrukcyjnych i paneli, wzór Herona zapewnia szybkie obliczenia pola.
W modelowaniu 3D i tworzeniu gier, trójkątne wielokąty są podstawowymi elementami, a wzór Herona jest używany do obliczania pól powierzchni i do obliczeń oświetlenia.
W edukacji geometrycznej wzór Herona jest nauczany jako ważne twierdzenie, które dostarcza wglądu w relację między bokami trójkąta a jego polem.
Długości boków: a = 5, b = 5, c = 5
Półobwód: s = (5 + 5 + 5) / 2 = 7.5
Pole: S = √[7.5 × 2.5 × 2.5 × 2.5] = √117.1875 ≈ 10.825
Długości boków: a = 3, b = 4, c = 5
Półobwód: s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
Pole: S = √[6 × 3 × 2 × 1] = √36 = 6
Dla trójkąta prostokątnego jest to zgodne ze wzorem (podstawa × wysokość) / 2 = (3 × 4) / 2 = 6
Długości boków: a = 7, b = 8, c = 9
Półobwód: s = (7 + 8 + 9) / 2 = 12
Pole: S = √[12 × 5 × 4 × 3] = √720 ≈ 26.833
W przeciwieństwie do standardowego wzoru (podstawa × wysokość / 2), wzór Herona oblicza pole tylko z długości boków, co czyni go użytecznym, gdy wysokość jest trudna do zmierzenia.
Czy to trójkąt równoboczny, równoramienny, różnoboczny, ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny, wzór Herona działa dla wszystkich typów trójkątów jednym wzorem.
Używając nowoczesnych kalkulatorów lub komputerów, wzór Herona może obliczać pola z bardzo wysoką precyzją.
Wzór Herona jest prosty do implementacji w programowaniu, wymagając tylko podstawowych operacji arytmetycznych (dodawania, odejmowania, mnożenia i pierwiastka kwadratowego).
Dla trójkątów o bardzo małych polach (prawie zdegenerowanych), arytmetyka zmiennoprzecinkowa może prowadzić do znacznych błędów zaokrągleń. W takich przypadkach alternatywne wzory jak wzór Kahana mogą być bardziej stabilne.
Przed obliczeniem musisz sprawdzić, czy trzy boki mogą utworzyć prawidłowy trójkąt (nierówność trójkąta: suma dowolnych dwóch boków musi przekraczać trzeci).
Wszystkie długości boków muszą być liczbami dodatnimi. Wartości zerowe lub ujemne spowodują nieprawidłowe obliczenia.
Wzór Herona to matematyczny wzór do obliczania pola trójkąta na podstawie długości jego trzech boków. Został udowodniony przez Herona z Aleksandrii w starożytności.
Jest szczególnie użyteczny, gdy znasz wszystkie trzy długości boków, ale nie znasz wysokości lub kątów trójkąta, na przykład w geodezji lub przy pomiarze trójkątnych obiektów.
Tak, działa dla wszystkich typów trójkątów (równobocznych, równoramiennych, różnobocznych, ostrokątnych, prostokątnych i rozwartokątnych), o ile trzy boki mogą utworzyć prawidłowy trójkąt.
Możesz użyć dowolnych jednostek (metry, centymetry, stopy itp.), ale wszystkie trzy boki muszą używać tej samej jednostki. Wynikowe pole będzie w jednostkach kwadratowych jednostki wejściowej.
Częste przyczyny to: wprowadzenie wartości ujemnych lub zerowych, lub wprowadzenie długości boków naruszających nierówność trójkąta (gdzie suma dwóch boków nie jest większa od trzeciego).
Dla bardzo płaskich trójkątów (prawie zdegenerowanych) błędy zaokrągleń zmiennoprzecinkowych mogą się kumulować. W takich przypadkach zalecane są numerycznie stabilne alternatywy jak wzór Kahana.
Sam wzór Herona jest tylko dla trójkątów płaskich. Dla trójkątów trójwymiarowych w przestrzeni najpierw musiałbyś określić, czy trzy punkty są współpłaszczyznowe i obliczyć długości boków.
Dla trójkątów prostokątnych wzór Herona daje taki sam wynik jak (podstawa × wysokość) / 2. Dla trójkątów, gdzie znasz długości boków i kąty, możesz również użyć (1/2)ab sin C, ale wzór Herona nie wymaga informacji o kątach.