Háromszög területének kiszámítása oldalak hosszából
A Hérón-képlet kalkulátor használata nagyon egyszerű:
Adjon meg értékeket. Az eredmények valós időben jelennek meg.
A Hérón-képletet először az alexandriai Hérón (Kr. u. 10-70 körül) bizonyította be 'Metrica' című matematikai értekezésében. Később azonban kiderült, hogy ezt a képletet Arkhimédész már több évszázaddal korábban ismerte. Ez a képlet azért figyelemreméltó, mert egy háromszög területét csak az oldalainak hosszából tudja kiszámítani, anélkül, hogy ismernünk kellene a szögeket vagy magasságokat.
A Hérón-képlet két fő lépésből áll:
Ahol a, b és c a háromszög három oldalának hossza.
A Hérón-képlet használatához a következő feltételeknek kell teljesülniük:
A Hérón-képletet különböző valós alkalmazásokban használják:
Földmérésnél és ingatlanügyben, háromszögű földterületek mérésekor a Hérón-képlet lehetővé teszi a terület kiszámítását csak távolságmérésekből, szögmérések nélkül.
GPS rendszerekben és navigációs számításokban, amikor több ponthoz viszonyított távolságokból határozzák meg a pozíciókat, a Hérón-képletet használják területek kiszámításához és a pozíció pontosságának ellenőrzéséhez.
Az építőmérnöki és építészeti tervezésben, háromszögű szerkezeti elemek és panelek területeinek kiszámításakor a Hérón-képlet gyors területszámításokat biztosít.
A 3D modellezésben és játékfejlesztésben a háromszögű poligonok alapvető elemek, és a Hérón-képletet használják felületi területek kiszámításához és megvilágítási számításokhoz.
A geometriai oktatásban a Hérón-képletet fontos tételként tanítják, amely betekintést nyújt a háromszög oldalai és területe közötti kapcsolatba.
Oldalhosszak: a = 5, b = 5, c = 5
Félkerület: s = (5 + 5 + 5) / 2 = 7,5
Terület: S = √[7,5 × 2,5 × 2,5 × 2,5] = √117,1875 ≈ 10,825
Oldalhosszak: a = 3, b = 4, c = 5
Félkerület: s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
Terület: S = √[6 × 3 × 2 × 1] = √36 = 6
Derékszögű háromszög esetén ez megegyezik az (alap × magasság) / 2 = (3 × 4) / 2 = 6 képlettel
Oldalhosszak: a = 7, b = 8, c = 9
Félkerület: s = (7 + 8 + 9) / 2 = 12
Terület: S = √[12 × 5 × 4 × 3] = √720 ≈ 26,833
A szabványos képlettel (alap × magasság / 2) ellentétben a Hérón-képlet csak az oldalhosszakból számítja ki a területet, így hasznos, amikor a magasságot nehéz megmérni.
Legyen szó szabályos, egyenlő szárú, általános, hegyesszögű, derékszögű vagy tompaszögű háromszögről, a Hérón-képlet minden háromszögtípusnál működik egyetlen képlettel.
Modern számológépek vagy számítógépek használatával a Hérón-képlet nagyon nagy pontossággal tudja kiszámítani a területeket.
A Hérón-képlet egyszerűen megvalósítható programozásban, csak alapvető aritmetikai műveleteket igényel (összeadás, kivonás, szorzás és négyzetgyök).
Nagyon kis területű háromszögek esetén (majdnem degenerált háromszögek) a lebegőpontos aritmetika jelentős kerekítési hibákhoz vezethet. Ilyen esetekben alternatív képletek, mint a Kahan-képlet, stabilabbak lehetnek.
Számítás előtt ellenőrizni kell, hogy a három oldal alkothat-e érvényes háromszöget (háromszög-egyenlőtlenség: bármely két oldal összegének meg kell haladnia a harmadikat).
Minden oldalhossznak pozitív számnak kell lennie. Nulla vagy negatív értékek érvénytelen számításokat eredményeznek.
A Hérón-képlet egy matematikai képlet egy háromszög területének kiszámítására három oldalának hosszából. Az alexandriai Hérón bizonyította be az ókorban.
Különösen akkor hasznos, amikor ismeri mindhárom oldal hosszát, de nem ismeri a háromszög magasságát vagy szögeit, például földmérésnél vagy háromszögű objektumok mérésekor.
Igen, működik minden típusú háromszögnél (szabályos, egyenlő szárú, általános, hegyesszögű, derékszögű és tompaszögű), amíg a három oldal alkothat érvényes háromszöget.
Bármilyen mértékegységet használhat (méter, centiméter, láb stb.), de mindhárom oldalnak ugyanazt a mértékegységet kell használnia. Az eredményül kapott terület a bemeneti mértékegység négyzetegységében lesz.
Gyakori okok: negatív vagy nulla értékek megadása, vagy olyan oldalhosszak megadása, amelyek megsértik a háromszög-egyenlőtlenséget (ahol két oldal összege nem nagyobb a harmadiknál).
Nagyon lapos háromszögek esetén (majdnem degenerált) a lebegőpontos kerekítési hibák felhalmozódhatnak. Ilyen esetekre numerikusan stabil alternatívák, mint a Kahan-képlet ajánlottak.
A Hérón-képlet csak síkbeli háromszögekhez való. Háromdimenziós térben lévő háromszögeknél először meg kell határozni, hogy a három pont egy síkban van-e, és ki kell számítani az oldalhosszakat.
Derékszögű háromszögeknél a Hérón-képlet ugyanazt az eredményt adja, mint az (alap × magasság) / 2. Olyan háromszögeknél, ahol ismeri az oldalhosszakat és a szögeket, használhatja az (1/2)ab sin C képletet is, de a Hérón-képlet nem igényel szöginformációt.