פותר משוואות

פתור משוואות לינאריות, ריבועיות ומערכות

פותר משוואות מקוון חינמי עם שלבים מפורטים. פותר משוואות לינאריות (ax+b=0), ריבועיות (ax²+bx+c=0), ומערכות לינאריות 2×2. אין צורך ברישום.

איך להשתמש

פתור משוואות ב-3 שלבים פשוטים:

שלב 1: בחר סוג משוואה
בחר מהכרטיסיות: משוואה לינארית, ריבועית או מערכת משוואות
שלב 2: הזן מקדמים
הזן את מקדמי המשוואה (a, b, c). ערכי דוגמה כבר מוזנים
שלב 3: קבל פתרון
לחץ על כפתור הפתרון לצפות בפתרון עם הסבר שלב אחר שלב

כל החישובים מתבצעים בדפדפן. אין שליחת נתונים לשרת.

כלי פותר משוואות

פותר משוואות לינאריות

ax + b = 0

a (מקדם)

b (קבוע)

פותר משוואות ריבועיות

ax² + bx + c = 0

a (מקדם x²)

b (מקדם x)

c (קבוע)

מערכת לינארית (2×2)

a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

משוואה 1: x + y =

משוואה 2: x + y =

מקרי שימוש

פותר משוואות הוא כלי חיוני בתחומים רבים:

1. בעיות פיזיקה

פתרון משוואות תנועה: s = ut + ½at² (משוואה ריבועית לזמן). מציאת מהירות: v = u + at (משוואה לינארית). חישוב מסלולי קליעים, תאוצה, יחסי כוח. חיוני לבעיות מכניקה, קינמטיקה, דינמיקה.

2. הנדסה ועיצוב

ניתוח מעגלים: V = IR (משוואה לינארית). חישובים קונסטרוקטיביים: יחסי מתח-מעוות. בעיות אופטימיזציה: מזעור עלות תוך עמידה באילוצים. מערכת משוואות לחלוקת עומסים, חישובי חום, מאפייני חומרים.

3. כלכלה ועסקים

ניתוח נקודת איזון: הכנסות = עלויות (משוואה לינארית). מקסום רווח: פונקציות הכנסה ריבועיות. איזון היצע-ביקוש: פתרון מערכת משוואות. תשואות השקעה, אופטימיזציה ייצור, אסטרטגיות תמחור.

4. מדעי המחשב ותכנות

מורכבות אלגוריתמים: פתרון n במשוואות T(n). גרפיקה: ray tracing (משוואות ריבועיות לחיתוכים). פיזיקה משחקים: זיהוי התנגשויות, חישובי מסלול. זרימת רשת: מערכת משוואות לניתוב מיטבי.

5. חינוך למתמטיקה

למד טכניקות פתרון משוואות: פקטוריזציה, נוסחה ריבועית, החלפה, חיסול. הבן דיסקרימיננטה, שורשים, קבוצות פתרונות. תרגל יסודות אלגברה לחשבון אינפיניטסימלי, אלגברה לינארית, משוואות דיפרנציאליות.

מהו פתרון משוואות

משוואה היא ביטוי מתמטי המכיל סימן שווה. פתרון משוואה פירושו מציאת ערך המשתנה שהופך את הביטוי לנכון.

סוגי משוואות

משוואות לינאריות (ax+b=0): ביטוי ממעלה ראשונה, פתרון אחד. דוגמה: 2x+6=0 → x=-3. משוואות ריבועיות (ax²+bx+c=0): ביטוי ממעלה שנייה, 0, 1 או 2 פתרונות ממשיים. דוגמה: x²-5x+6=0 → x=2 או x=3. מערכות משוואות: מספר משוואות עם מספר נעלמים. דוגמה: 2x+3y=8, 3x-y=5 → x=1, y=2.

שיטות פתרון

משוואות לינאריות: העבר קבועים ימינה ובודד x. משוואות ריבועיות: השתמש בנוסחה x=(-b±√(b²-4ac))/(2a), פקטוריזציה, או השלמה לריבוע. הדיסקרימיננטה (b²-4ac) קובעת טבע השורשים: >0 (שניים ממשיים), =0 (אחד ממשי), <0 (מרוכבים). מערכות משוואות: החלפה, חיסול, או כלל קרמר (דטרמיננטות).

הבנת פתרונות

פתרונות ממשיים הם מספרים על ציר המספרים. פתרונות מרוכבים מכילים יחידה דמיונית i (√-1). אין פתרון פירושו סתירה (דוגמה: 0=5). פתרונות אינסופיים פירושו זהות (דוגמה: 0=0). במערכות משוואות, קווים מקבילים = אין פתרון, קווים זהים = פתרונות אינסופיים, קווים נחתכים = פתרון יחיד.

שאלות נפוצות

איך פותרים משוואה לינארית?

עבור ax+b=0, העבר קבוע ימינה: ax=-b, ואז חלק: x=-b/a. דוגמה: 2x+6=0 → 2x=-6 → x=-3. אם a=0 ו-b=0, פתרונות אינסופיים. אם a=0 ו-b≠0, אין פתרון.

מהי הנוסחה הריבועית?

עבור ax²+bx+c=0, הנוסחה היא x=(-b±√(b²-4ac))/(2a). ה-± אומר שני פתרונות. המונח b²-4ac הוא הדיסקרימיננטה וקובע אם הפתרונות ממשיים או מרוכבים.

מה הדיסקרימיננטה מגלה?

הדיסקרימיננטה Δ=b²-4ac קובעת סוג הפתרונות. Δ>0: שני פתרונות ממשיים שונים. Δ=0: פתרון ממשי אחד חוזר (שורשים שווים). Δ<0: שני פתרונות מרוכבים צמודים (אין פתרונות ממשיים).

איך פותרים מערכת משוואות?

למערכת 2×2, השתמש בכלל קרמר עם דטרמיננטות. חשב דטרמיננטה ראשית: Δ=a₁b₂-a₂b₁. אם Δ≠0, קיים פתרון יחיד: x=(c₁b₂-c₂b₁)/Δ, y=(a₁c₂-a₂c₁)/Δ. אם Δ=0, אין פתרון יחיד (קווים מקבילים או זהים).

מהם פתרונות מרוכבים?

פתרונות מרוכבים מופיעים כשהדיסקרימיננטה שלילית. מכילים יחידה דמיונית i (i²=-1). צורה: a±bi (a החלק הממשי, b החלק הדמיוני). דוגמה: x²+4=0 → x=±2i.

האם למשוואה ריבועית יכול להיות פתרון אחד בלבד?

כן, כאשר הדיסקרימיננטה אפס (b²-4ac=0). זהו שורש כפול בו שני הפתרונות שווים. דוגמה: x²-6x+9=0 יש דיסקרימיננטה 36-36=0, x=3 (כפול). הפרבולה נוגעת בציר x בדיוק בנקודה אחת.

מה אם מקדם a אפס במשוואה לינארית?

ב-ax+b=0 אם a=0, המשוואה הופכת ל-0x+b=0, כלומר b=0. אם b=0, כל x מספק (פתרונות אינסופיים). אם b≠0, אף x לא מספק (אין פתרון). זהו מקרה מנוון ולא משוואה לינארית אמיתית ב-x.

כמה מדויק פותר המשוואות הזה?

פותר זה משתמש ב-JavaScript double-precision floating-point (כ-15-17 ספרות משמעותיות). תוצאות מעוצבות ל-10 מקומות עשרוניים. יותר ממספיק לרוב המטרות החינוכיות והמעשיות. עם מקדמים גדולים מאוד ייתכן איבוד דיוק מסוים.