Beregn Trekantareal fra Sidelængder
Det er meget enkelt at bruge Herons formel beregner:
Indtast værdier. Resultater vises i realtid.
Herons formel blev først bevist af Heron af Alexandria (ca. 10-70 e.Kr.) i hans matematiske afhandling 'Metrica'. Det blev dog senere opdaget, at denne formel var kendt af Arkimedes flere århundreder tidligere. Denne formel er bemærkelsesværdig, fordi den kan beregne arealet af en trekant ved kun at bruge længderne af dens sider, uden at skulle kende vinkler eller højder.
Herons formel består af to hovedtrin:
Hvor a, b og c er længderne af trekantens tre sider.
For at bruge Herons formel skal følgende betingelser være opfyldt:
Herons formel bruges i forskellige virkelige anvendelser:
I landmåling og ejendomsbranschen, når man måler trekantede jordstykker, gør Herons formel det muligt at beregne arealet ud fra kun afstandsmålinger uden behov for vinkelmålinger.
I GPS-systemer og navigationsberegninger, når man bestemmer positioner ud fra afstande til flere punkter, bruges Herons formel til at beregne arealer og verificere positionsnøjagtighed.
I byggeteknik og arkitektonisk design, når man beregner arealer af trekantede strukturelle elementer og paneler, giver Herons formel hurtige arealberegninger.
I 3D-modellering og spiludvikling er trekantede polygoner grundlæggende elementer, og Herons formel bruges til at beregne overfladearealer og til lysberegninger.
I geometriundervisning undervises Herons formel som en vigtig sætning, der giver indsigt i forholdet mellem trekantens sider og areal.
Sidelængder: a = 5, b = 5, c = 5
Halvperimeter: s = (5 + 5 + 5) / 2 = 7,5
Areal: S = √[7,5 × 2,5 × 2,5 × 2,5] = √117,1875 ≈ 10,825
Sidelængder: a = 3, b = 4, c = 5
Halvperimeter: s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
Areal: S = √[6 × 3 × 2 × 1] = √36 = 6
For en retvinklet trekant svarer dette til formlen (grundlinje × højde) / 2 = (3 × 4) / 2 = 6
Sidelængder: a = 7, b = 8, c = 9
Halvperimeter: s = (7 + 8 + 9) / 2 = 12
Areal: S = √[12 × 5 × 4 × 3] = √720 ≈ 26,833
I modsætning til standardformlen (grundlinje × højde / 2) beregner Herons formel arealet ud fra kun sidelængder, hvilket gør den nyttig, når højden er svær at måle.
Uanset om det er ligesidet, ligebenet, uregelmæssig, spidsvinklet, retvinklet eller stumpvinklet, virker Herons formel for alle trekanttyper med én enkelt formel.
Ved brug af moderne lommeregnere eller computere kan Herons formel beregne arealer med meget høj præcision.
Herons formel er enkel at implementere i programmering og kræver kun grundlæggende aritmetiske operationer (addition, subtraktion, multiplikation og kvadratrod).
For trekanter med meget små arealer (næsten degenererede trekanter) kan flydende komma-aritmetik føre til betydelige afrundingsfejl. I sådanne tilfælde kan alternative formler som Kahans formel være mere stabile.
Før beregning skal du verificere, at de tre sider kan danne en gyldig trekant (trekantsuligheden: summen af to vilkårlige sider skal overstige den tredje).
Alle sidelængder skal være positive tal. Nul eller negative værdier vil resultere i ugyldige beregninger.
Herons formel er en matematisk formel til beregning af arealet af en trekant ud fra længderne af dens tre sider. Den blev bevist af Heron af Alexandria i oldtiden.
Den er særligt nyttig, når du kender alle tre sidelængder, men ikke højden eller vinklerne på trekanten, såsom ved landmåling eller når man måler trekantede objekter.
Ja, den virker for alle typer trekanter (ligesidet, ligebenet, uregelmæssig, spidsvinklet, retvinklet og stumpvinklet), så længe de tre sider kan danne en gyldig trekant.
Du kan bruge alle enheder (meter, centimeter, fod osv.), men alle tre sider skal bruge samme enhed. Det resulterende areal vil være i kvadratenheder af inputenheden.
Almindelige årsager omfatter: indtastning af negative eller nul værdier, eller indtastning af sidelængder, der overtræder trekantsuligheden (hvor summen af to sider ikke er større end den tredje).
For meget flade trekanter (næsten degenererede) kan flydende komma-afrundingsfejl akkumulere. Til sådanne tilfælde anbefales numerisk stabile alternativer som Kahans formel.
Herons formel er kun til plane trekanter. For tredimensionelle trekanter i rummet skal du først bestemme, om de tre punkter er coplanare og beregne sidelængderne.
For retvinklede trekanter giver Herons formel samme resultat som (grundlinje × højde) / 2. For trekanter, hvor du kender sidelængder og vinkler, kan du også bruge (1/2)ab sin C, men Herons formel kræver ikke vinkelinformation.