Ligningsløser

Løs lineære ligninger, andengradsligninger og ligningssystemer

Gratis online ligningsløser med trin-for-trin løsninger. Løs lineære ligninger (ax+b=0), andengradsligninger (ax²+bx+c=0) og 2×2 lineære ligningssystemer. Ingen registrering påkrævet.

Sådan bruges den

Enkel 3-trins proces til at løse ligninger:

Trin 1: Vælg ligningstype
Vælg mellem lineær ligning, andengradsligning eller ligningssystem ved hjælp af fanerne
Trin 2: Indtast koefficienter
Indtast koefficienterne (a, b, c) for din ligning. Eksempelværdier er forudfyldt for at hjælpe dig i gang
Trin 3: Få løsningen
Klik på knappen "Løs" for at se løsningen med trin-for-trin forklaring

Alle beregninger udføres i din browser. Ingen data sendes til vores servere.

Værktøj til ligningsløsning

Løser til lineær ligning

ax + b = 0

a (koefficient)

b (konstantled)

Løser til andengradsligning

ax² + bx + c = 0

a (koefficient for x²)

b (koefficient for x)

c (konstantled)

System af lineære ligninger (2×2)

a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

Ligning 1: x + y =

Ligning 2: x + y =

Praktiske anvendelser

Ligningsløsere er essentielle værktøjer på tværs af mange discipliner:

1. Fysikproblemer

Løs bevægelsesligninger: s = ut + ½at² (kvadratisk for tid). Find hastighed: v = u + at (lineær). Beregn projektilbaner, acceleration og kraftrelationer. Afgørende for mekanik-, kinematik- og dynamikproblemer.

2. Ingeniørvidenskab og design

Kredsløbsanalyse: V = IR (lineær). Strukturelle beregninger: spænding-tøjningsforhold. Optimeringsproblemer: minimer omkostninger under overholdelse af begrænsninger. Ligningssystemer for belastningsfordeling, termiske beregninger og materialeegenskaber.

3. Økonomi og erhvervsliv

Nulpunktsanalyse: Omsætning = Omkostninger (lineær). Profitmaksimering: kvadratiske omsætningsfunktioner. Udbuds-efterspørgsels-ligevægt: løs ligningssystemer. Investeringsafkast, produktionsoptimering og prisstrategier.

4. Datalogi og programmering

Algoritmekompleksitet: løs for n i T(n) ligninger. Grafik: ray tracing (kvadratisk for skæringspunkter). Spilfysik: kollisionsdetektering, baneberegninger. Netværksflow: løs systemer for optimal routing.

5. Matematikundervisning

Lær ligningsløsningsteknikker: faktorisering, andengradsformlen, substitution, eliminering. Forstå diskriminanter, rødder og løsningsmængder. Øv algebraiske grundprincipper til calculus, lineær algebra og differentialligninger.

Hvad er ligningsløsning?

En ligning er et matematisk udsagn med et lighedstegn. At løse en ligning betyder at finde den eller de værdier af variablen (variablerne), der gør ligningen sand.

Typer af ligninger

Lineær ligning (ax+b=0): Første grad, én løsning. Eksempel: 2x+6=0 → x=-3. Andengradsligning (ax²+bx+c=0): Anden grad, 0, 1 eller 2 reelle løsninger. Eksempel: x²-5x+6=0 → x=2 eller x=3. Ligningssystem: Flere ligninger med flere ubekendte. Eksempel: 2x+3y=8, 3x-y=5 → x=1, y=2.

Løsningsmetoder

Lineær: Isoler x ved at flytte konstanten til højre side. Kvadratisk: Brug andengradsformlen x=(-b±√(b²-4ac))/(2a), faktorisering eller 'completing the square'. Diskriminanten (b²-4ac) bestemmer røddernes art: >0 (to reelle), =0 (én reel), <0 (komplekse). System: Substitution, eliminering eller Cramers regel (determinanter).

Forståelse af løsninger

Reelle løsninger er tal på tallinjen. Komplekse løsninger involverer den imaginære enhed i (√-1). Ingen løsning betyder en modstrid (f.eks. 0=5). Uendeligt mange løsninger betyder en identitet (f.eks. 0=0). For systemer har parallelle linjer ingen løsning, sammenfaldende linjer har uendeligt mange løsninger, og skærende linjer har én unik løsning.

Ofte stillede spørgsmål

Hvordan løser jeg en lineær ligning?

For ax+b=0, flyt konstanten til højre: ax=-b, divider så: x=-b/a. Eksempel: 2x+6=0 → 2x=-6 → x=-3. Hvis a=0 og b=0, er der uendeligt mange løsninger. Hvis a=0 og b≠0, er der ingen løsning.

Hvad er andengradsformlen (diskriminantformlen)?

For ax²+bx+c=0 er andengradsformlen x=(-b±√(b²-4ac))/(2a). ± betyder, at der er to løsninger. Udtrykket b²-4ac er diskriminanten, som bestemmer, om løsningerne er reelle eller komplekse.

Hvad fortæller diskriminanten os?

Diskriminanten Δ=b²-4ac bestemmer løsningstyperne. Δ>0: To forskellige reelle løsninger. Δ=0: Én gentaget reel løsning (dobbeltrod). Δ<0: To komplekse konjugerede løsninger (ingen reelle løsninger).

Hvordan løser jeg et ligningssystem?

For 2×2 systemer, brug Cramers regel med determinanter. Beregn hoveddeterminanten: Δ=a₁b₂-a₂b₁. Hvis Δ≠0, eksisterer en unik løsning: x=(c₁b₂-c₂b₁)/Δ, y=(a₁c₂-a₂c₁)/Δ. Hvis Δ=0, er der ingen unik løsning (parallelle eller sammenfaldende linjer).

Hvad er komplekse løsninger?

Komplekse løsninger opstår, når diskriminanten er negativ. De involverer den imaginære enhed i, hvor i²=-1. Format: a±bi, hvor a er den reelle del, b er den imaginære del. Eksempel: x²+4=0 → x=±2i.

Kan en andengradsligning have kun én løsning?

Ja, når diskriminanten er lig nul (b²-4ac=0). Dette kaldes en dobbeltrod, hvor begge løsninger er ens. Eksempel: x²-6x+9=0 har diskriminant 36-36=0, hvilket giver x=3 (gentaget). Parablen rører x-aksen i præcis ét punkt.

Hvad hvis koefficienten a i den lineære ligning er nul?

Hvis a=0 i ax+b=0, bliver ligningen til 0x+b=0 eller bare b=0. Hvis b=0, opfylder enhver x ligningen (uendeligt mange løsninger). Hvis b≠0, opfylder ingen x ligningen (ingen løsning). Dette er et degenereret tilfælde, ikke en egentlig lineær ligning i x.

Hvor nøjagtig er denne ligningsløser?

Denne løser bruger JavaScripts dobbeltpræcisionsaritmetik (ca. 15-17 signifikante cifre). Resultater formateres til 10 decimalpladser. Til de fleste uddannelsesmæssige og praktiske formål er denne præcision mere end tilstrækkelig. Meget store koefficienter kan miste noget præcision.