حلّال المعادلات

حل المعادلات الخطية والتربيعية ونظام المعادلات

حلّال معادلات مجاني عبر الإنترنت مع خطوات تفصيلية. يحل المعادلات الخطية (ax+b=0)، التربيعية (ax²+bx+c=0)، ونظام المعادلات الخطية 2×2. لا يتطلب تسجيل.

كيفية الاستخدام

حل المعادلات في 3 خطوات بسيطة:

الخطوة 1: اختر نوع المعادلة
اختر من التبويبات: معادلة خطية، تربيعية، أو نظام معادلات
الخطوة 2: أدخل المعاملات
أدخل معاملات المعادلة (a, b, c). القيم المثالية مدخلة مسبقاً
الخطوة 3: احصل على الحل
اضغط زر الحل لعرض الحل مع شرح تفصيلي خطوة بخطوة

جميع العمليات الحسابية تتم في المتصفح. لا يتم إرسال البيانات إلى الخادم.

أداة حلّال المعادلات

حلّال المعادلات الخطية

ax + b = 0

a (المعامل)

b (الثابت)

حلّال المعادلات التربيعية

ax² + bx + c = 0

a (معامل x²)

b (معامل x)

c (الثابت)

نظام المعادلات الخطية (2×2)

a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

المعادلة 1: x + y =

المعادلة 2: x + y =

حالات الاستخدام

حلّال المعادلات أداة أساسية في العديد من المجالات:

1. مسائل الفيزياء

حل معادلات الحركة: s = ut + ½at² (معادلة تربيعية للزمن). إيجاد السرعة: v = u + at (معادلة خطية). حساب مسارات القذائف، التسارع، علاقات القوة. ضروري لمسائل الميكانيكا والحركية والديناميكا.

2. الهندسة والتصميم

تحليل الدوائر: V = IR (معادلة خطية). الحسابات الإنشائية: علاقات الإجهاد-الانفعال. مسائل التحسين: تقليل التكلفة مع تلبية القيود. نظام معادلات لتوزيع الأحمال، الحسابات الحرارية، خصائص المواد.

3. الاقتصاد والأعمال

تحليل نقطة التعادل: الإيرادات = التكاليف (معادلة خطية). تعظيم الربح: دوال إيراد تربيعية. توازن العرض والطلب: حل نظام معادلات. عوائد الاستثمار، تحسين الإنتاج، استراتيجيات التسعير.

4. علوم الحاسوب والبرمجة

تعقيد الخوارزميات: حل n في معادلات T(n). الرسومات: تتبع الأشعة (معادلات تربيعية للتقاطعات). فيزياء الألعاب: كشف التصادمات، حسابات المسار. تدفق الشبكات: نظام معادلات للتوجيه الأمثل.

5. التعليم الرياضي

تعلم تقنيات حل المعادلات: التحليل، القانون العام، التعويض، الحذف. فهم المميز، الجذور، مجموعات الحل. ممارسة أساسيات الجبر لحساب التفاضل والتكامل، الجبر الخطي، المعادلات التفاضلية.

ما هو حل المعادلات

المعادلة هي تعبير رياضي يحتوي على علامة مساواة. حل المعادلة يعني إيجاد قيمة المتغير التي تجعل التعبير صحيحاً.

أنواع المعادلات

المعادلات الخطية (ax+b=0): تعبير من الدرجة الأولى، حل واحد. مثال: 2x+6=0 → x=-3. المعادلات التربيعية (ax²+bx+c=0): تعبير من الدرجة الثانية، 0 أو 1 أو 2 حل حقيقي. مثال: x²-5x+6=0 → x=2 أو x=3. نظام المعادلات: معادلات متعددة بمتغيرات متعددة. مثال: 2x+3y=8، 3x-y=5 → x=1، y=2.

طرق الحل

المعادلات الخطية: نقل الثوابت إلى اليمين وعزل x. المعادلات التربيعية: استخدام القانون العام x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)، التحليل، أو إكمال المربع. المميز (b²-4ac) يحدد طبيعة الجذور: >0 (حقيقيان)، =0 (حقيقي واحد)، <0 (مركبان). نظام المعادلات: التعويض، الحذف، أو قاعدة كرامر (المحددات).

فهم الحلول

الحلول الحقيقية هي أرقام على خط الأعداد. الحلول المركبة تحتوي على الوحدة التخيلية i (√-1). لا يوجد حل يعني تناقض (مثال: 0=5). حلول لا نهائية تعني متطابقة (مثال: 0=0). في نظام المعادلات، الخطوط المتوازية = لا حل، الخطوط المتطابقة = حلول لا نهائية، الخطوط المتقاطعة = حل فريد.

الأسئلة الشائعة

كيف أحل معادلة خطية؟

لـ ax+b=0، انقل الثابت إلى اليمين: ax=-b، ثم اقسم: x=-b/a. مثال: 2x+6=0 → 2x=-6 → x=-3. إذا كان a=0 و b=0، حلول لا نهائية. إذا كان a=0 و b≠0، لا يوجد حل.

ما هو القانون العام؟

لـ ax²+bx+c=0، القانون العام هو x=(-b±√(b²-4ac))/(2a). الرمز ± يعني حلين. المصطلح b²-4ac هو المميز ويحدد إذا كانت الحلول حقيقية أو مركبة.

ماذا يخبرنا المميز؟

المميز Δ=b²-4ac يحدد نوع الحلول. Δ>0: حلان حقيقيان مختلفان. Δ=0: حل حقيقي واحد متكرر (الجذور متساوية). Δ<0: حلان مركبان مترافقان (لا حلول حقيقية).

كيف أحل نظام معادلات؟

لنظام 2×2، نستخدم قاعدة كرامر بالمحددات. احسب المحدد الرئيسي: Δ=a₁b₂-a₂b₁. إذا كان Δ≠0، يوجد حل فريد: x=(c₁b₂-c₂b₁)/Δ، y=(a₁c₂-a₂c₁)/Δ. إذا كان Δ=0، لا يوجد حل فريد (خطوط متوازية أو متطابقة).

ما هي الحلول المركبة؟

تظهر الحلول المركبة عندما يكون المميز سالباً. تحتوي على الوحدة التخيلية i (i²=-1). الشكل: a±bi (a الجزء الحقيقي، b الجزء التخيلي). مثال: x²+4=0 → x=±2i.

هل يمكن أن يكون للمعادلة التربيعية حل واحد فقط؟

نعم، عندما يكون المميز صفراً (b²-4ac=0). هذا جذر مكرر حيث كلا الحلين متساويان. مثال: x²-6x+9=0 له مميز 36-36=0، x=3 (مكرر). القطع المكافئ يلامس محور x في نقطة واحدة فقط.

ماذا لو كان معامل a صفراً في معادلة خطية؟

في ax+b=0 إذا كان a=0، تصبح المعادلة 0x+b=0، أي b=0. إذا كان b=0، أي x يحقق المعادلة (حلول لا نهائية). إذا كان b≠0، لا يوجد x يحقق المعادلة (لا حل). هذه حالة منحلة وليست معادلة خطية حقيقية في x.

ما مدى دقة حلّال المعادلات هذا؟

يستخدم هذا الحلّال حساب الفاصلة العائمة مزدوجة الدقة في JavaScript (حوالي 15-17 رقماً معنوياً). النتائج منسقة إلى 10 منازل عشرية. أكثر من كافٍ لمعظم الأغراض التعليمية والعملية. قد تفقد بعض الدقة مع المعاملات الكبيرة جداً.