احسب مساحة المثلث من أطوال الأضلاع
استخدام حاسبة صيغة هيرون بسيط جداً:
أدخل القيم. تظهر النتائج في الوقت الفعلي.
تم إثبات صيغة هيرون لأول مرة من قبل هيرو الإسكندري (حوالي 10-70 م) في رسالته الرياضية 'Metrica'. ومع ذلك، تم اكتشاف لاحقاً أن هذه الصيغة كانت معروفة لأرخميدس قبل ذلك بعدة قرون. هذه الصيغة رائعة لأنها يمكن أن تحسب مساحة المثلث باستخدام أطوال أضلاعه فقط، دون الحاجة إلى معرفة الزوايا أو الارتفاعات.
تتكون صيغة هيرون من خطوتين رئيسيتين:
حيث a و b و c هي أطوال أضلاع المثلث الثلاثة.
لاستخدام صيغة هيرون، يجب استيفاء الشروط التالية:
تستخدم صيغة هيرون في تطبيقات متنوعة في العالم الحقيقي:
في المساحة والعقارات، عند قياس قطع الأراضي المثلثة، تتيح صيغة هيرون حساب المساحة من قياسات المسافة فقط، دون الحاجة إلى قياسات الزاوية.
في أنظمة GPS وحسابات الملاحة، عند تحديد المواقع من المسافات إلى نقاط متعددة، تستخدم صيغة هيرون لحساب المساحات والتحقق من دقة الموقع.
في الهندسة المدنية والتصميم المعماري، عند حساب مساحات العناصر الإنشائية والألواح المثلثة، توفر صيغة هيرون حسابات مساحة سريعة.
في النمذجة ثلاثية الأبعاد وتطوير الألعاب، تعتبر المضلعات المثلثة عناصر أساسية، وتستخدم صيغة هيرون لحساب مساحات السطح وللحسابات الضوئية.
في تعليم الهندسة، تُدرّس صيغة هيرون كنظرية مهمة توفر نظرة ثاقبة على العلاقة بين أضلاع المثلث والمساحة.
أطوال الأضلاع: a = 5, b = 5, c = 5
نصف المحيط: s = (5 + 5 + 5) / 2 = 7.5
المساحة: S = √[7.5 × 2.5 × 2.5 × 2.5] = √117.1875 ≈ 10.825
أطوال الأضلاع: a = 3, b = 4, c = 5
نصف المحيط: s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
المساحة: S = √[6 × 3 × 2 × 1] = √36 = 6
بالنسبة للمثلث القائم الزاوية، هذا يتطابق مع الصيغة (القاعدة × الارتفاع) / 2 = (3 × 4) / 2 = 6
أطوال الأضلاع: a = 7, b = 8, c = 9
نصف المحيط: s = (7 + 8 + 9) / 2 = 12
المساحة: S = √[12 × 5 × 4 × 3] = √720 ≈ 26.833
على عكس الصيغة القياسية (القاعدة × الارتفاع / 2)، تحسب صيغة هيرون المساحة من أطوال الأضلاع فقط، مما يجعلها مفيدة عندما يكون قياس الارتفاع صعباً.
سواء كانت متساوية الأضلاع أو متساوية الساقين أو مختلفة الأضلاع أو حادة أو قائمة أو منفرجة، تعمل صيغة هيرون لجميع أنواع المثلثات بصيغة واحدة.
باستخدام الآلات الحاسبة أو أجهزة الكمبيوتر الحديثة، يمكن لصيغة هيرون حساب المساحات بدقة عالية جداً.
صيغة هيرون بسيطة التنفيذ في البرمجة، وتتطلب فقط عمليات حسابية أساسية (الجمع والطرح والضرب والجذر التربيعي).
بالنسبة للمثلثات ذات المساحات الصغيرة جداً (المثلثات شبه المنحطة)، يمكن أن تؤدي حسابات الفاصلة العائمة إلى أخطاء تقريب كبيرة. في مثل هذه الحالات، قد تكون الصيغ البديلة مثل صيغة كاهان أكثر استقراراً.
قبل الحساب، يجب التحقق من أن الأضلاع الثلاثة يمكن أن تشكل مثلثاً صحيحاً (متباينة المثلث: يجب أن يكون مجموع أي ضلعين أكبر من الضلع الثالث).
يجب أن تكون جميع أطوال الأضلاع أرقاماً موجبة. ستؤدي القيم الصفرية أو السالبة إلى حسابات غير صحيحة.
صيغة هيرون هي صيغة رياضية لحساب مساحة المثلث من أطوال أضلاعه الثلاثة. تم إثباتها من قبل هيرو الإسكندري في العصور القديمة.
إنها مفيدة بشكل خاص عندما تعرف جميع أطوال الأضلاع الثلاثة ولكن ليس الارتفاع أو الزوايا للمثلث، مثل في المساحة الأرضية أو عند قياس الأشياء المثلثة.
نعم، تعمل لجميع أنواع المثلثات (متساوية الأضلاع، متساوية الساقين، مختلفة الأضلاع، حادة، قائمة، ومنفرجة)، طالما يمكن للأضلاع الثلاثة تشكيل مثلث صحيح.
يمكنك استخدام أي وحدات (أمتار، سنتيمترات، أقدام، إلخ)، ولكن يجب أن تستخدم جميع الأضلاع الثلاثة نفس الوحدة. ستكون المساحة الناتجة بوحدات مربعة من وحدة الإدخال.
الأسباب الشائعة تشمل: إدخال قيم سالبة أو صفرية، أو إدخال أطوال أضلاع تنتهك متباينة المثلث (حيث مجموع ضلعين ليس أكبر من الثالث).
بالنسبة للمثلثات المسطحة جداً (شبه المنحطة)، يمكن أن تتراكم أخطاء التقريب للفاصلة العائمة. في مثل هذه الحالات، يوصى بالبدائل المستقرة عددياً مثل صيغة كاهان.
صيغة هيرون نفسها للمثلثات المستوية فقط. بالنسبة للمثلثات ثلاثية الأبعاد في الفضاء، ستحتاج أولاً إلى تحديد ما إذا كانت النقاط الثلاث متحدة المستوى وحساب أطوال الأضلاع.
بالنسبة للمثلثات القائمة الزاوية، تعطي صيغة هيرون نفس النتيجة مثل (القاعدة × الارتفاع) / 2. بالنسبة للمثلثات التي تعرف فيها أطوال الأضلاع والزوايا، يمكنك أيضاً استخدام (1/2)ab sin C، ولكن صيغة هيرون لا تتطلب معلومات الزاوية.