Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου από Μήκη Πλευρών
Η χρήση της αριθμομηχανής του τύπου του Ήρωνα είναι πολύ απλή:
Εισαγάγετε τιμές. Τα αποτελέσματα εμφανίζονται σε πραγματικό χρόνο.
Ο τύπος του Ήρωνα αποδείχθηκε για πρώτη φορά από τον Ήρωνα της Αλεξάνδρειας (περ. 10-70 μ.Χ.) στη μαθηματική του πραγματεία 'Μετρικά'. Ωστόσο, αργότερα ανακαλύφθηκε ότι αυτός ο τύπος ήταν γνωστός στον Αρχιμήδη αρκετούς αιώνες νωρίτερα. Αυτός ο τύπος είναι αξιοσημείωτος επειδή μπορεί να υπολογίσει το εμβαδόν ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας μόνο τα μήκη των πλευρών του, χωρίς να χρειάζεται να γνωρίζει γωνίες ή ύψη.
Ο τύπος του Ήρωνα αποτελείται από δύο κύρια βήματα:
Όπου a, b και c είναι τα μήκη των τριών πλευρών του τριγώνου.
Για να χρησιμοποιήσετε τον τύπο του Ήρωνα, πρέπει να πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:
Ο τύπος του Ήρωνα χρησιμοποιείται σε διάφορες πραγματικές εφαρμογές:
Σε τοπογραφικές μετρήσεις και ακίνητα, κατά τη μέτρηση τριγωνικών οικοπέδων γης, ο τύπος του Ήρωνα επιτρέπει τον υπολογισμό εμβαδού μόνο από μετρήσεις απόστασης, χωρίς να χρειάζονται μετρήσεις γωνιών.
Σε συστήματα GPS και υπολογισμούς πλοήγησης, κατά τον προσδιορισμό θέσεων από αποστάσεις προς πολλαπλά σημεία, ο τύπος του Ήρωνα χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό εμβαδών και την επαλήθευση της ακρίβειας θέσης.
Στη πολιτική μηχανική και τον αρχιτεκτονικό σχεδιασμό, κατά τον υπολογισμό των εμβαδών τριγωνικών δομικών στοιχείων και πάνελ, ο τύπος του Ήρωνα παρέχει γρήγορους υπολογισμούς εμβαδού.
Στην τρισδιάστατη μοντελοποίηση και την ανάπτυξη παιχνιδιών, τα τριγωνικά πολύγωνα είναι θεμελιώδη στοιχεία, και ο τύπος του Ήρωνα χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό επιφανειακών εμβαδών και για υπολογισμούς φωτισμού.
Στη γεωμετρική εκπαίδευση, ο τύπος του Ήρωνα διδάσκεται ως ένα σημαντικό θεώρημα που παρέχει γνώση για τη σχέση μεταξύ των πλευρών του τριγώνου και του εμβαδού.
Μήκη πλευρών: a = 5, b = 5, c = 5
Ημιπερίμετρος: s = (5 + 5 + 5) / 2 = 7,5
Εμβαδόν: S = √[7,5 × 2,5 × 2,5 × 2,5] = √117,1875 ≈ 10,825
Μήκη πλευρών: a = 3, b = 4, c = 5
Ημιπερίμετρος: s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
Εμβαδόν: S = √[6 × 3 × 2 × 1] = √36 = 6
Για ένα ορθογώνιο τρίγωνο, αυτό ταιριάζει με τον τύπο (βάση × ύψος) / 2 = (3 × 4) / 2 = 6
Μήκη πλευρών: a = 7, b = 8, c = 9
Ημιπερίμετρος: s = (7 + 8 + 9) / 2 = 12
Εμβαδόν: S = √[12 × 5 × 4 × 3] = √720 ≈ 26,833
Σε αντίθεση με τον τυπικό τύπο (βάση × ύψος / 2), ο τύπος του Ήρωνα υπολογίζει το εμβαδόν μόνο από τα μήκη πλευρών, καθιστώντας τον χρήσιμο όταν το ύψος είναι δύσκολο να μετρηθεί.
Είτε είναι ισόπλευρο, ισοσκελές, σκαληνό, οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο, ο τύπος του Ήρωνα λειτουργεί για όλους τους τύπους τριγώνων με έναν ενιαίο τύπο.
Χρησιμοποιώντας σύγχρονες αριθμομηχανές ή υπολογιστές, ο τύπος του Ήρωνα μπορεί να υπολογίσει εμβαδά με πολύ υψηλή ακρίβεια.
Ο τύπος του Ήρωνα είναι απλός στην υλοποίηση στον προγραμματισμό, απαιτώντας μόνο βασικές αριθμητικές πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και τετραγωνική ρίζα).
Για τρίγωνα με πολύ μικρά εμβαδά (σχεδόν εκφυλισμένα τρίγωνα), η αριθμητική κινητής υποδιαστολής μπορεί να οδηγήσει σε σημαντικά σφάλματα στρογγυλοποίησης. Σε τέτοιες περιπτώσεις, εναλλακτικοί τύποι όπως ο τύπος του Kahan μπορεί να είναι πιο σταθεροί.
Πριν από τον υπολογισμό, πρέπει να επαληθεύσετε ότι οι τρεις πλευρές μπορούν να σχηματίσουν έγκυρο τρίγωνο (ανισότητα τριγώνου: το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο πλευρών πρέπει να υπερβαίνει την τρίτη).
Όλα τα μήκη πλευρών πρέπει να είναι θετικοί αριθμοί. Μηδενικές ή αρνητικές τιμές θα οδηγήσουν σε άκυρους υπολογισμούς.
Ο τύπος του Ήρωνα είναι ένας μαθηματικός τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου από τα μήκη των τριών πλευρών του. Αποδείχθηκε από τον Ήρωνα της Αλεξάνδρειας στην αρχαιότητα.
Είναι ιδιαίτερα χρήσιμος όταν γνωρίζετε και τα τρία μήκη πλευρών αλλά όχι το ύψος ή τις γωνίες του τριγώνου, όπως στις τοπογραφικές μετρήσεις ή κατά τη μέτρηση τριγωνικών αντικειμένων.
Ναι, λειτουργεί για όλους τους τύπους τριγώνων (ισόπλευρο, ισοσκελές, σκαληνό, οξυγώνιο, ορθογώνιο και αμβλυγώνιο), εφόσον οι τρεις πλευρές μπορούν να σχηματίσουν έγκυρο τρίγωνο.
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιεσδήποτε μονάδες (μέτρα, εκατοστά, πόδια κ.λπ.), αλλά και οι τρεις πλευρές πρέπει να χρησιμοποιούν την ίδια μονάδα. Το προκύπτον εμβαδόν θα είναι σε τετραγωνικές μονάδες της μονάδας εισόδου.
Συνήθεις λόγοι περιλαμβάνουν: εισαγωγή αρνητικών ή μηδενικών τιμών, ή εισαγωγή μηκών πλευρών που παραβιάζουν την ανισότητα τριγώνου (όπου το άθροισμα δύο πλευρών δεν είναι μεγαλύτερο από την τρίτη).
Για πολύ επίπεδα τρίγωνα (σχεδόν εκφυλισμένα), τα σφάλματα στρογγυλοποίησης κινητής υποδιαστολής μπορεί να συσσωρευτούν. Για τέτοιες περιπτώσεις, συνιστώνται αριθμητικά σταθερές εναλλακτικές λύσεις όπως ο τύπος του Kahan.
Ο τύπος του Ήρωνα είναι μόνο για επίπεδα τρίγωνα. Για τρισδιάστατα τρίγωνα στο χώρο, θα πρέπει πρώτα να προσδιορίσετε εάν τα τρία σημεία είναι συνεπίπεδα και να υπολογίσετε τα μήκη πλευρών.
Για ορθογώνια τρίγωνα, ο τύπος του Ήρωνα δίνει το ίδιο αποτέλεσμα με (βάση × ύψος) / 2. Για τρίγωνα όπου γνωρίζετε τα μήκη πλευρών και τις γωνίες, θα μπορούσατε επίσης να χρησιμοποιήσετε (1/2)ab ημ C, αλλά ο τύπος του Ήρωνα δεν απαιτεί πληροφορίες γωνίας.